Jednakost sa √(4 − √15) i √10 − √6

Primetimo da u izrazu imamo član $(4 + \sqrt{15})$ i koren $\sqrt{4 - \sqrt{15}} .$ Da bismo ih lakše kombinovali, možemo prvi član zapisati kao koren kvadrata tog broja.

4 + \sqrt{15} = \sqrt{(4 + \sqrt{15})^2}

Sada prepisujemo početni izraz tako što grupišemo korene pod jedan zajednički koren.

\sqrt{(4 + \sqrt{15})^2 \cdot (4 - \sqrt{15})} \cdot (\sqrt{10} - \sqrt{6}) = 2

Unutar prvog korena koristimo osobinu stepenovanja da bismo prepoznali razliku kvadrata.

\sqrt{(4 + \sqrt{15}) \cdot (4 + \sqrt{15}) \cdot (4 - \sqrt{15})} \cdot (\sqrt{10} - \sqrt{6})

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ na poslednja dva faktora pod korenom.

\sqrt{(4 + \sqrt{15}) \cdot (4^2 - (\sqrt{15})^2)} \cdot (\sqrt{10} - \sqrt{6})

Računamo vrednost u zagradi: $16 - 15 = 1 .$

\sqrt{(4 + \sqrt{15}) \cdot 1} \cdot (\sqrt{10} - \sqrt{6}) = \sqrt{4 + \sqrt{15}} \cdot (\sqrt{10} - \sqrt{6})

Iz drugog faktora $(\sqrt{10} - \sqrt{6})$ izvlačimo zajednički faktor $\sqrt{2} .$

\sqrt{4 + \sqrt{15}} \cdot \sqrt{2} \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3})

Unosimo broj 2 pod koren kako bismo sredili prvi deo izraza.

\sqrt{2(4 + \sqrt{15})} \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = \sqrt{8 + 2\sqrt{15}} \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3})

Prepoznajemo da je izraz $8 + 2\sqrt{15}$ zapravo kvadrat binoma $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 ,$ jer je $(\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15} .$

\sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2} \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3})

Korenujemo kvadrat i ponovo dobijamo razliku kvadrata.

(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2

Konačnim računanjem dobijamo traženi rezultat.

5 - 3 = 2

Započni učenje

Online časovi

48.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci