Izraz sa √(√3 + √2) i √(√3 − √2)

Prvo primećujemo da su zapisi $\sqrt{x}$ i $x^{1/2}$ ekvivalentni. Uvodimo smene radi lakšeg računanja: neka je $a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ i $b = \sqrt{3} - \sqrt{2} .$ Izraz tada postaje:

\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}

Vršimo racionalizaciju dobijenog izraza množenjem i brojioca i imenioca sa $\sqrt{a} - \sqrt{b} :$

\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{a - b}

Kvadriramo brojilac koristeći formulu za kvadrat razlike $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 :$

\frac{a - 2\sqrt{ab} + b}{a - b}

Vraćamo vrednosti za $a$ i $b .$ Primetimo da je proizvod $ab$ razlika kvadrata:

ab = (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1

Računamo vrednosti za zbir $a+b$ i razliku $a-b$ u imeniocu:

a + b = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3} \\ a - b = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}

Zamenjujemo dobijene vrednosti u izraz iz koraka 3:

\frac{2\sqrt{3} - 2\sqrt{1}}{2\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} - 2}{2\sqrt{2}} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}

Konačno, racionalizujemo rezultat množenjem sa $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} :$

\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}

Započni učenje

Online časovi

46.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci