1225.

Stepen sa racionalnim izložiocem

TEKST ZADATKA

Uprostiti sledeći izraz uz uslove p,q>0 p, q > 0 i p≠q: p \neq q :

[(p4−q4)−1+(p4+q4)−1]:p+qp−q\left[ (\sqrt[4]{p} - \sqrt[4]{q})^{-1} + (\sqrt[4]{p} + \sqrt[4]{q})^{-1} \right] : \frac{\sqrt{p} + \sqrt{q}}{p - q}
REŠENJE ZADATKA

Zapisujemo izraze sa negativnim eksponentom u obliku razlomaka:

[1p4−q4+1p4+q4]:p+qp−q\left[ \frac{1}{\sqrt[4]{p} - \sqrt[4]{q}} + \frac{1}{\sqrt[4]{p} + \sqrt[4]{q}} \right] : \frac{\sqrt{p} + \sqrt{q}}{p - q}

Svodimo izraz u srednjim zagradama na zajednički imenilac. Zajednički imenilac je proizvod njihovih imenilaca (p4−q4)(p4+q4): (\sqrt[4]{p} - \sqrt[4]{q})(\sqrt[4]{p} + \sqrt[4]{q}) :

[p4+q4+p4−q4(p4−q4)(p4+q4)]:p+qp−q\left[ \frac{\sqrt[4]{p} + \sqrt[4]{q} + \sqrt[4]{p} - \sqrt[4]{q}}{(\sqrt[4]{p} - \sqrt[4]{q})(\sqrt[4]{p} + \sqrt[4]{q})} \right] : \frac{\sqrt{p} + \sqrt{q}}{p - q}

U imeniocu prepoznajemo razliku kvadrata, pa on postaje (p4)2−(q4)2=p−q. (\sqrt[4]{p})^2 - (\sqrt[4]{q})^2 = \sqrt{p} - \sqrt{q} . U brojiocu sabiramo slične članove:

2p4p−q:p+qp−q\frac{2\sqrt[4]{p}}{\sqrt{p} - \sqrt{q}} : \frac{\sqrt{p} + \sqrt{q}}{p - q}

Faktorizujemo imenilac drugog razlomka p−q p - q primenom formule za razliku kvadrata a2−b2=(a−b)(a+b), a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) , gde su a=p a = \sqrt{p} i b=q: b = \sqrt{q} :

2p4p−q:p+q(p−q)(p+q)\frac{2\sqrt[4]{p}}{\sqrt{p} - \sqrt{q}} : \frac{\sqrt{p} + \sqrt{q}}{(\sqrt{p} - \sqrt{q})(\sqrt{p} + \sqrt{q})}

Skraćujemo drugi razlomak sa zajedničkim faktorom p+q: \sqrt{p} + \sqrt{q} :

2p4p−q:1p−q\frac{2\sqrt[4]{p}}{\sqrt{p} - \sqrt{q}} : \frac{1}{\sqrt{p} - \sqrt{q}}

Deljenje razlomkom pretvaramo u množenje njegovom recipročnom vrednošću:

2p4p−q⋅p−q1\frac{2\sqrt[4]{p}}{\sqrt{p} - \sqrt{q}} \cdot \frac{\sqrt{p} - \sqrt{q}}{1}

Skraćujemo p−q \sqrt{p} - \sqrt{q} u brojiocu i imeniocu da bismo dobili konačan rezultat:

2p42\sqrt[4]{p}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti