1227. Stepen sa racionalnim izložiocem

Posmatramo prvo brojilac prvog razlomka. Zapišimo izraz $a\sqrt{a} + b\sqrt{b}$ kao zbir kubova primenom svojstva stepenovanja.

a\sqrt{a} + b\sqrt{b} = (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3

Primenimo formulu za zbir kubova $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ na dobijeni izraz.

(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)

Zamenimo faktorisan brojilac nazad u prvi razlomak i skratimo ga sa imeniocem $\sqrt{a} + \sqrt{b} .$

\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = a - \sqrt{ab} + b

Sada oduzimamo $\sqrt{ab}$ od dobijenog rezultata kako bismo uprostili celu prvu zagradu polaznog izraza.

(a - \sqrt{ab} + b) - \sqrt{ab} = a - 2\sqrt{ab} + b

Primećujemo da je dobijeni izraz u prvoj zagradi zapravo kvadrat binoma.

a - 2\sqrt{ab} + b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2

Sada posmatramo drugu zagradu. Imenilac $a - b$ možemo faktorisati primenom formule za razliku kvadrata.

a - b = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})

Zamenimo ovo u imenilac drugog razlomka i skratimo sa brojiocem $\sqrt{a} + \sqrt{b} .$

\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}

Kvadriramo dobijeni uprošćeni razlomak prema uslovu zadatka.

\left( \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \right)^2 = \frac{1}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}

Na kraju, pomnožimo rezultate koje smo dobili uprošćavanjem prve i druge zagrade.

(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \cdot \frac{1}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2} = 1

1227.Stepen sa racionalnim izložiocem