Ugnježdeni koreni: jednakost sa √(13 + 4√3)

Prvo ćemo pojednostaviti unutrašnji koren $\sqrt{13+4\sqrt{3}}$ transformacijom u kvadrat binoma.

13+4\sqrt{3} = 13 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 12 + 1 + 2 \cdot \sqrt{12} \cdot 1

Prepoznajemo obrazac $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ,$ gde je $a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ i $b = 1 .$

13+4\sqrt{3} = (2\sqrt{3}+1)^2

Sada korenujemo dobijeni izraz:

\sqrt{13+4\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}+1

Zamenjujemo dobijenu vrednost nazad u početni izraz na levoj strani jednakosti.

\sqrt{3+\sqrt{5}-(2\sqrt{3}+1)} = \sqrt{2+\sqrt{5}-2\sqrt{3}}

Primetimo da numeričke vrednosti ne dozvoljavaju lako dalje korenjenje. Kvadrirajmo obe strane jednakosti da proverimo identitet.

L^2 = 3+\sqrt{5}-\sqrt{13+4\sqrt{3}}

Kvadriramo desnu stranu jednakosti $D = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{3}+1) :$

D^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 (\sqrt{3}+1)^2 = \frac{2}{4}(3+2\sqrt{3}+1)

Sređujemo izraz za $D^2 :$

D^2 = \frac{1}{2}(4+2\sqrt{3}) = 2+\sqrt{3}

Upoređujemo levu stranu $L^2 = 2+\sqrt{5}-2\sqrt{3}$ i desnu stranu $D^2 = 2+\sqrt{3} .$ Vidimo da vrednosti nisu jednake.

2+\sqrt{5}-2\sqrt{3} \neq 2+\sqrt{3}

Zaključujemo da polazna jednakost nije tačna.

\text{Jednakost nije zadovoljena.}

37.a