Ugnježdeni koreni: jednakost sa √(√2 − 1)

Neka je leva strana jednakosti označena sa $A .$ Da bismo eliminisali spoljašnje korene, kvadriraćemo izraz $A .$

A = \sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{\sqrt{2}-1}}+\sqrt{\sqrt{2}-2\sqrt{\sqrt{2}-1}}

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 :$

A^2 = \left(\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{\sqrt{2}-1}}\right)^2 + 2\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{\sqrt{2}-1}}\sqrt{\sqrt{2}-2\sqrt{\sqrt{2}-1}} + \left(\sqrt{\sqrt{2}-2\sqrt{\sqrt{2}-1}}\right)^2

Sređujemo izraze pod kvadratom i grupišemo članove pod zajednički koren koristeći razliku kvadrata $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2 :$

A^2 = \sqrt{2} + 2\sqrt{\sqrt{2}-1} + \sqrt{2} - 2\sqrt{\sqrt{2}-1} + 2\sqrt{(\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{\sqrt{2}-1})^2}

Sređujemo prvi deo izraza gde se srednji članovi potiru i računamo vrednost unutar korena:

A^2 = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2 - 4(\sqrt{2}-1)}

Dalje sređujemo izraz unutar korena:

A^2 = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2 - 4\sqrt{2} + 4} = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{6 - 4\sqrt{2}}

Primetimo da se izraz $6 - 4\sqrt{2}$ može napisati kao kvadrat binoma $(2 - \sqrt{2})^2 :$

(2 - \sqrt{2})^2 = 4 - 4\sqrt{2} + 2 = 6 - 4\sqrt{2}

Zamenjujemo dobijeni kvadrat binoma nazad u izraz za $A^2 :$

A^2 = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{(2 - \sqrt{2})^2} = 2\sqrt{2} + 2|2 - \sqrt{2}|

Pošto je $2 > \sqrt{2} ,$ apsolutna vrednost je pozitivna. Oslobađamo se zagrada i računamo konačnu vrednost $A^2 :$

A^2 = 2\sqrt{2} + 4 - 2\sqrt{2} = 4

S obzirom da je $A$ zbir dva pozitivna korena, uzimamo pozitivnu vrednost kvadratnog korena iz 4:

A = \sqrt{4} = 2

Zaključujemo da je početna jednakost tačna.

2 = 2

37.b