1092.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Osloboditi se iracionalnosti u imeniocima sledećih razlomaka:

1∘12−33,2∘143+23+11^{\circ} \frac{1}{2-\sqrt[3]{3}}, \quad 2^{\circ} \frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}
REŠENJE ZADATKA

Rešavamo prvi primer. Da bismo uklonili treći koren iz imenioca oblika a−b3, a - \sqrt[3]{b} , koristimo identitet za razliku kubova: (x−y)(x2+xy+y2)=x3−y3. (x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3 .

12−33\frac{1}{2-\sqrt[3]{3}}

Množimo i brojilac i imenilac nepotpunim kvadratom zbira brojeva 2 2 i 33. \sqrt[3]{3} .

12−33⋅22+233+(33)222+233+(33)2\frac{1}{2-\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{2^2 + 2\sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2}{2^2 + 2\sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2}

Sređujemo izraz u imeniocu koristeći formulu x3−y3, x^3 - y^3 , dok u brojiocu vršimo stepenovanje.

4+233+9323−(33)3=4+233+938−3\frac{4 + 2\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}{2^3 - (\sqrt[3]{3})^3} = \frac{4 + 2\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}{8 - 3}

Konačan rezultat za prvi primer:

4+233+935\frac{4 + 2\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}{5}

Rešavamo drugi primer. Primećujemo da je imenilac zapravo nepotpun kvadrat zbira za vrednosti x=23 x = \sqrt[3]{2} i y=1, y = 1 , jer je 43=(23)2. \sqrt[3]{4} = (\sqrt[3]{2})^2 .

143+23+1\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}

Množimo i brojilac i imenilac razlikom 23−1 \sqrt[3]{2} - 1 kako bismo u imeniocu dobili razliku kubova.

1232+23⋅1+12⋅23−123−1\frac{1}{\sqrt[3]{2}^2 + \sqrt[3]{2} \cdot 1 + 1^2} \cdot \frac{\sqrt[3]{2}-1}{\sqrt[3]{2}-1}

Primenjujemo formulu (x−y)(x2+xy+y2)=x3−y3 (x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3 na imenilac.

23−1(23)3−13=23−12−1\frac{\sqrt[3]{2}-1}{(\sqrt[3]{2})^3 - 1^3} = \frac{\sqrt[3]{2}-1}{2 - 1}

Konačan rezultat za drugi primer pošto je imenilac jednak 1:

23−1\sqrt[3]{2}-1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti