Dvostruki koren: jednakost sa √(4 + 2√3)

Prvo ćemo srediti unutrašnji koren $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} .$ Primetimo da se izraz ispod korena može zapisati kao kvadrat zbira.

4 + 2\sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3} + 1)^2

Sada korenujemo dobijeni kvadrat. Pošto je $\sqrt{3} + 1 > 0 ,$ imamo:

\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{3} + 1

Slično sredimo i drugi član na levoj strani, $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} ,$ koristeći kvadrat razlike.

4 - 2\sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3} - 1)^2

Korenujemo izraz pazeći na znak, jer je $\sqrt{3} > 1 :$

\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = \sqrt{3} - 1

Sada zamenimo dobijene vrednosti u početni izraz na levoj strani jednačine.

\sqrt{4 + (\sqrt{3} + 1)} + (\sqrt{3} - 1)

Sredimo prvi sabirak unutar novog korena:

\sqrt{5 + \sqrt{3}} + \sqrt{3} - 1

Primetimo da smo napravili grešku u prepisivanju zadatka ili postavci. Proverimo ponovo prvi član: $\sqrt{4 + \sqrt{3} + 1} = \sqrt{5 + \sqrt{3}} .$ Međutim, ako je zadatak glasio $\sqrt{4 - \sqrt{4+2\sqrt{3}}} ,$ dobili bismo traženi rezultat. Proverimo originalnu vrednost numerički ili kroz kvadriranje.

\text{Leva strana} \approx 2.52 + 0.73 = 3.25 \neq \sqrt{3} + 1 \approx 2.73

Zaključujemo da data jednakost u originalnom obliku nije tačna. Da bi bila tačna, znak unutar prvog korena bi morao biti minus.

\sqrt{4 - \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}} + \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{4 - (\sqrt{3} + 1)} + \sqrt{3} - 1 = \sqrt{3 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} - 1

Započni učenje

Online časovi

28.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci