1068.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Dokazati da je sledeća jednakost tačna:

4+4+23+4−23=3+1\sqrt{4 + \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}} + \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} + 1
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo srediti unutrašnji koren 4+23. \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} . Primetimo da se izraz ispod korena može zapisati kao kvadrat zbira.

4+23=3+23+1=(3)2+2⋅3⋅1+12=(3+1)24 + 2\sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3} + 1)^2

Sada korenujemo dobijeni kvadrat. Pošto je 3+1>0, \sqrt{3} + 1 > 0 , imamo:

4+23=(3+1)2=3+1\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{3} + 1

Slično sredimo i drugi član na levoj strani, 4−23, \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} , koristeći kvadrat razlike.

4−23=3−23+1=(3−1)24 - 2\sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3} - 1)^2

Korenujemo izraz pazeći na znak, jer je 3>1: \sqrt{3} > 1 :

4−23=(3−1)2=3−1\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = \sqrt{3} - 1

Sada zamenimo dobijene vrednosti u početni izraz na levoj strani jednačine.

4+(3+1)+(3−1)\sqrt{4 + (\sqrt{3} + 1)} + (\sqrt{3} - 1)

Sredimo prvi sabirak unutar novog korena:

5+3+3−1\sqrt{5 + \sqrt{3}} + \sqrt{3} - 1

Primetimo da smo napravili grešku u prepisivanju zadatka ili postavci. Proverimo ponovo prvi član: 4+3+1=5+3. \sqrt{4 + \sqrt{3} + 1} = \sqrt{5 + \sqrt{3}} . Međutim, ako je zadatak glasio 4−4+23, \sqrt{4 - \sqrt{4+2\sqrt{3}}} , dobili bismo traženi rezultat. Proverimo originalnu vrednost numerički ili kroz kvadriranje.

Leva strana≈2.52+0.73=3.25≠3+1≈2.73\text{Leva strana} \approx 2.52 + 0.73 = 3.25 \neq \sqrt{3} + 1 \approx 2.73

Zaključujemo da data jednakost u originalnom obliku nije tačna. Da bi bila tačna, znak unutar prvog korena bi morao biti minus.

4−4+23+4−23=4−(3+1)+3−1=3−3+3−1\sqrt{4 - \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}} + \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{4 - (\sqrt{3} + 1)} + \sqrt{3} - 1 = \sqrt{3 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} - 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti