Jednačina sa kubnim korenima sa parametrom a

Kubiramo obe strane jednačine.

(\sqrt[3]{x+a} + \sqrt[3]{a-x})^3 = (\sqrt[3]{2a})^3

Koristimo identitet za kub binoma u obliku $(u+v)^3 = u^3 + v^3 + 3uv(u+v) .$

(x+a) + (a-x) + 3\sqrt[3]{(x+a)(a-x)}(\sqrt[3]{x+a} + \sqrt[3]{a-x}) = 2a

Sređujemo izraz i zamenjujemo $\sqrt[3]{x+a} + \sqrt[3]{a-x}$ sa $\sqrt[3]{2a}$ iz početne jednačine.

2a + 3\sqrt[3]{a^2-x^2} \cdot \sqrt[3]{2a} = 2a

Oduzimamo $2a$ sa obe strane jednačine.

3\sqrt[3]{a^2-x^2} \cdot \sqrt[3]{2a} = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli.

\sqrt[3]{a^2-x^2} = 0 \quad \lor \quad \sqrt[3]{2a} = 0

Razmatramo prvi slučaj kada je $\sqrt[3]{2a} = 0 ,$ odnosno $a = 0 .$

a = 0

Zamenjujemo $a = 0$ u početnu jednačinu.

\sqrt[3]{x+0} + \sqrt[3]{0-x} = \sqrt[3]{0}

Sređujemo jednačinu i dobijamo tačan iskaz za svako $x .$

\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x} = 0 \implies 0 = 0

Dakle, za $a = 0$ rešenje je svaki realan broj.

x \in \mathbf{R}

Razmatramo drugi slučaj kada je $a \neq 0 .$ Tada mora važiti $\sqrt[3]{a^2-x^2} = 0 .$

a^2 - x^2 = 0

Rešavamo jednačinu po $x .$

x^2 = a^2

Dobijamo dva rešenja.

x = a \quad \lor \quad x = -a

Zapisujemo konačno rešenje u zavisnosti od parametra $a .$

x \in \begin{cases} \mathbf{R}, & a = 0 \\ \{-a, a\}, & a \neq 0 \end{cases}

366.v