378.a

Kvadriramo obe strane jednačine kako bismo se oslobodili spoljašnjeg korena:

Izolujemo preostali koren na jednoj strani:

Da bi jednačina imala realna rešenja, moraju biti ispunjeni uslovi definisanosti korena, kao i uslov da je vrednost korena nenegativna. Iz desne strane sledi:

Ponovo kvadriramo obe strane jednačine:

Uvodimo smenu kojom ćemo uprostiti jednačinu. Neka je $y = \sqrt{1-x} ,$ pri čemu mora važiti $y \ge 0 .$ Kvadriranjem smene dobijamo $y^2 = 1 - x ,$ odakle izražavamo $x :$

Zamenjujemo izraženo $x$ i smenu $y$ u jednačinu dobijenu nakon drugog kvadriranja:

Sređujemo jednačinu tako što sve članove prebacimo na jednu stranu:

Faktorišemo dobijeni polinom četvrtog stepena. Prvo grupišemo članove:

Primenjujemo razliku kvadrata na prvu zagradu i izvlačimo zajednički faktor iz druge:

Dalje razlažemo razliku kvadrata:

Izvlačimo zajednički faktor $(y + 1)$ ispred zagrade:

Množimo članove unutar srednje zagrade i sređujemo izraz:

S obzirom na početni uslov $y \ge 0 ,$ važi da je $y + 1 \ge 1 > 0 .$ Zbog toga prvi faktor ne može biti jednak nuli, pa jedino rešenje mora zadovoljavati kubnu jednačinu:

Ova kubna jednačina nema racionalne korene. Da bismo je rešili, uvodimo novu smenu kojom eliminišemo kvadratni član. Neka je:

Zamenjujemo smenu u kubnu jednačinu:

Razvijamo stepene binoma:

Sređujemo jednačinu grupisanjem sličnih članova:

Dobijena jednačina je oblika $t^3 + pt + q = 0 ,$ gde je $p = \frac{5}{3}$ i $q = -\frac{11}{27} .$ Primenjujemo Kardanovu formulu za nalazak realnog korena:

Računamo vrednosti izraza pod kvadratnim korenom:

Zamenjujemo izračunate vrednosti u Kardanovu formulu (uz $-\frac{q}{2} = \frac{11}{54}$):

Sređujemo izraze pod kubnim korenom koristeći $\sqrt{\frac{23}{108}} = \frac{\sqrt{69}}{18} = \frac{3\sqrt{69}}{54} :$

Izvlačimo $\sqrt[3]{54} = 3\sqrt[3]{2}$ u imenilac:

Vraćamo se na smenu $y = t + \frac{1}{3} :$

Konačno, rešenje za $x$ dobijamo iz relacije $x = 1 - y^2 :$