Jednačina sa smenom t jednako koren iz x − 2

Prvo, odredimo osnovni uslov domena jednačine. Izraz pod unutrašnjim korenom mora biti nenegativan:

x-2 \ge 0 \implies x \ge 2

Uvodimo smenu $t = \sqrt{x-2} ,$ pri čemu je $t \ge 0 .$ Tada je $x - 2 = t^2 ,$ odnosno $x = t^2 + 2 .$

t = \sqrt{x-2}, \quad x = t^2 + 2

Zamenjujemo $x$ u polaznu jednačinu:

\sqrt{t^2+2-4+t} - \sqrt{t^2+2-3-t} = 1

Sređujemo izraze pod korenima:

\sqrt{t^2+t-2} - \sqrt{t^2-t-1} = 1

Prebacujemo drugi koren na desnu stranu kako bismo lakše kvadrirali jednačinu:

\sqrt{t^2+t-2} = 1 + \sqrt{t^2-t-1}

Kvadriramo obe strane jednačine:

t^2+t-2 = 1 + 2\sqrt{t^2-t-1} + t^2-t-1

Sređujemo dobijenu jednačinu:

t^2+t-2 = t^2-t + 2\sqrt{t^2-t-1}

Prebacujemo sve članove bez korena na levu stranu:

2t - 2 = 2\sqrt{t^2-t-1}

Delimo celu jednačinu sa $2 :$

t - 1 = \sqrt{t^2-t-1}

Da bismo ponovo kvadrirali, leva strana mora biti nenegativna, pa postavljamo uslov $t - 1 \ge 0 \implies t \ge 1 .$ Zatim kvadriramo:

(t-1)^2 = t^2-t-1

Razvijamo kvadrat binoma na levoj strani:

t^2 - 2t + 1 = t^2 - t - 1

Skraćujemo $t^2$ sa obe strane i dobijamo linearnu jednačinu:

-2t + 1 = -t - 1

Rešavamo jednačinu po $t :$

t = 2

Proveravamo uslov $t \ge 1 .$ Pošto je $2 \ge 1 ,$ rešenje je prihvatljivo. Vraćamo smenu $t = \sqrt{x-2} :$

\sqrt{x-2} = 2

Kvadriramo i računamo $x :$

x - 2 = 4 \implies x = 6

Proveravamo da li $x = 6$ ispunjava početni uslov domena ( $x \ge 2$ ). Uslov je ispunjen, pa je to konačno rešenje.

x = 6

379.v