1906.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

x−4+x−2−x−3−x−2=1\sqrt{x-4+\sqrt{x-2}} - \sqrt{x-3-\sqrt{x-2}} = 1
REŠENJE ZADATKA

Prvo, odredimo osnovni uslov domena jednačine. Izraz pod unutrašnjim korenom mora biti nenegativan:

x−2≥0  ⟹  x≥2x-2 \ge 0 \implies x \ge 2

Uvodimo smenu t=x−2, t = \sqrt{x-2} , pri čemu je t≥0. t \ge 0 . Tada je x−2=t2, x - 2 = t^2 , odnosno x=t2+2. x = t^2 + 2 .

t=x−2,x=t2+2t = \sqrt{x-2}, \quad x = t^2 + 2

Zamenjujemo x x u polaznu jednačinu:

t2+2−4+t−t2+2−3−t=1\sqrt{t^2+2-4+t} - \sqrt{t^2+2-3-t} = 1

Sređujemo izraze pod korenima:

t2+t−2−t2−t−1=1\sqrt{t^2+t-2} - \sqrt{t^2-t-1} = 1

Prebacujemo drugi koren na desnu stranu kako bismo lakše kvadrirali jednačinu:

t2+t−2=1+t2−t−1\sqrt{t^2+t-2} = 1 + \sqrt{t^2-t-1}

Kvadriramo obe strane jednačine:

t2+t−2=1+2t2−t−1+t2−t−1t^2+t-2 = 1 + 2\sqrt{t^2-t-1} + t^2-t-1

Sređujemo dobijenu jednačinu:

t2+t−2=t2−t+2t2−t−1t^2+t-2 = t^2-t + 2\sqrt{t^2-t-1}

Prebacujemo sve članove bez korena na levu stranu:

2t−2=2t2−t−12t - 2 = 2\sqrt{t^2-t-1}

Delimo celu jednačinu sa 2: 2 :

t−1=t2−t−1t - 1 = \sqrt{t^2-t-1}

Da bismo ponovo kvadrirali, leva strana mora biti nenegativna, pa postavljamo uslov t−1≥0  ⟹  t≥1. t - 1 \ge 0 \implies t \ge 1 . Zatim kvadriramo:

(t−1)2=t2−t−1(t-1)^2 = t^2-t-1

Razvijamo kvadrat binoma na levoj strani:

t2−2t+1=t2−t−1t^2 - 2t + 1 = t^2 - t - 1

Skraćujemo t2 t^2 sa obe strane i dobijamo linearnu jednačinu:

−2t+1=−t−1-2t + 1 = -t - 1

Rešavamo jednačinu po t: t :

t=2t = 2

Proveravamo uslov t≥1. t \ge 1 . Pošto je 2≥1, 2 \ge 1 , rešenje je prihvatljivo. Vraćamo smenu t=x−2: t = \sqrt{x-2} :

x−2=2\sqrt{x-2} = 2

Kvadriramo i računamo x: x :

x−2=4  ⟹  x=6x - 2 = 4 \implies x = 6

Proveravamo da li x=6 x = 6 ispunjava početni uslov domena (x≥2 x \ge 2 ). Uslov je ispunjen, pa je to konačno rešenje.

x=6x = 6

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti