Jednačina sa smenom t jednako x na 2 plus x

Uočavamo da se izrazi pod korenima mogu zapisati preko istog binoma $x^2+x .$ Uvodimo smenu $t = x^2+x .$

\begin{aligned} 2-x-x^2 &= 2-(x^2+x) = 2-t \\ x^2+x-1 &= (x^2+x)-1 = t-1 \end{aligned}

Zapisujemo jednačinu koristeći novu promenljivu $t .$

\sqrt{2-t} - \sqrt{t-1} = 1

Određujemo uslove definisanosti (domen) za promenljivu $t .$ Potkoreni izrazi moraju biti nenegativni.

\begin{cases} 2-t \ge 0 \implies t \le 2 \\ t-1 \ge 0 \implies t \ge 1 \end{cases} \implies t \in [1, 2]

Kvadriramo obe strane jednačine.

(\sqrt{2-t} - \sqrt{t-1})^2 = 1^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma i sređujemo izraz.

(2-t) - 2\sqrt{(2-t)(t-1)} + (t-1) = 1

Pojednostavljujemo dobijenu jednačinu.

\begin{aligned} 1 - 2\sqrt{(2-t)(t-1)} &= 1 \\ -2\sqrt{(2-t)(t-1)} &= 0 \\ \sqrt{(2-t)(t-1)} &= 0 \end{aligned}

Rešavamo jednačinu po $t .$

(2-t)(t-1) = 0 \implies t_1 = 2, \quad t_2 = 1

Proveravamo dobijena rešenja u jednačini pre kvadriranja, jer kvadriranje može uvesti lažna rešenja. Za $t_1 = 2 :$

\sqrt{2-2} - \sqrt{2-1} = 0 - 1 = -1 \neq 1

Rešenje $t_1 = 2$ odbacujemo. Proveravamo rešenje $t_2 = 1 :$

\sqrt{2-1} - \sqrt{1-1} = 1 - 0 = 1

Rešenje $t = 1$ je validno. Vraćamo smenu $t = x^2+x .$

x^2+x = 1 \implies x^2+x-1 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $x .$

x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}

379.a