Jednačina sa petim korenima: zbir recipročnih je 5/2

Prvo određujemo domen jednačine. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli, a pošto je koren neparan, potkorene veličine mogu biti bilo kog znaka.

x - 1 \neq 0 \quad \text{i} \quad 16x \neq 0

Iz ovoga dobijamo uslove za $x .$

x \neq 1 \quad \text{i} \quad x \neq 0

Uvodimo smenu kako bismo uprostili jednačinu. Neka je:

t = \sqrt[5]{\frac{16x}{x-1}}

Tada drugi sabirak postaje recipročna vrednost od $t .$

\sqrt[5]{\frac{x-1}{16x}} = \frac{1}{t}

Zamenom u početnu jednačinu dobijamo:

t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}

Množimo celu jednačinu sa $2t$ (uz uslov $t \neq 0$ ) kako bismo se oslobodili razlomaka.

2t^2 - 5t + 2 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $t .$

t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}

Dobijamo dva rešenja za $t .$

t_1 = 2, \quad t_2 = \frac{1}{2}

Vraćamo se na smenu za prvi slučaj $t_1 = 2 .$

\sqrt[5]{\frac{16x}{x-1}} = 2

Stepenujemo obe strane jednačine na peti stepen.

\frac{16x}{x-1} = 2^5

Sređujemo jednačinu.

\frac{16x}{x-1} = 32

Delimo obe strane sa 16.

\frac{x}{x-1} = 2

Množimo sa $x-1$ i rešavamo po $x .$

x = 2(x-1) \implies x = 2x - 2 \implies x = 2

Sada se vraćamo na smenu za drugi slučaj $t_2 = \frac{1}{2} .$

\sqrt[5]{\frac{16x}{x-1}} = \frac{1}{2}

Stepenujemo obe strane na peti stepen.

\frac{16x}{x-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^5

Sređujemo jednačinu.

\frac{16x}{x-1} = \frac{1}{32}

Množimo unakrsno kako bismo rešili po $x .$

16x \cdot 32 = x - 1

Računamo proizvod i grupišemo nepoznate.

512x = x - 1 \implies 511x = -1

Dobijamo drugo rešenje za $x .$

x = -\frac{1}{511}

Proveravamo da li dobijena rešenja pripadaju domenu. Pošto su oba rešenja različita od 0 i 1, oba su validna. Konačan skup rešenja je:

x \in \left\{-\frac{1}{511}, 2\right\}

Započni učenje

Privatni časovi

369.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci