1863.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

1x−1+x+11x+1−1x−1:x+1(x−1)x+1−(x+1)x−1=2\frac{\frac{1}{\sqrt{x-1}} + \sqrt{x+1}}{\frac{1}{\sqrt{x+1}} - \frac{1}{\sqrt{x-1}}} : \frac{\sqrt{x+1}}{(x-1)\sqrt{x+1} - (x+1)\sqrt{x-1}} = 2
REŠENJE ZADATKA

Određujemo domen jednačine. Zbog parnih korena u imeniocima mora važiti x−1>0 x - 1 > 0 i x+1>0, x + 1 > 0 , pa je domen x>1. x > 1 .

x>1x > 1

Sređujemo brojilac prvog razlomka tako što ga svodimo na zajednički imenilac.

1x−1+x+1=1+x−1x+1x−1=1+x2−1x−1\frac{1}{\sqrt{x-1}} + \sqrt{x+1} = \frac{1 + \sqrt{x-1}\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}} = \frac{1 + \sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x-1}}

Sređujemo imenilac prvog razlomka svođenjem na zajednički imenilac.

1x+1−1x−1=x−1−x+1x+1x−1=x−1−x+1x2−1\frac{1}{\sqrt{x+1}} - \frac{1}{\sqrt{x-1}} = \frac{\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}} = \frac{\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2-1}}

Delimo dobijeni brojilac i imenilac da bismo uprostili prvi razlomak.

1+x2−1x−1x−1−x+1x2−1=(1+x2−1)x2−1x−1(x−1−x+1)=(1+x2−1)x−1x+1x−1(x−1−x+1)=(1+x2−1)x+1x−1−x+1\frac{\frac{1 + \sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x-1}}}{\frac{\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2-1}}} = \frac{(1 + \sqrt{x^2-1})\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x-1}(\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1})} = \frac{(1 + \sqrt{x^2-1})\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}(\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1})} = \frac{(1 + \sqrt{x^2-1})\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1}}

Sređujemo imenilac drugog razlomka izvlačenjem zajedničkog faktora x−1x+1. \sqrt{x-1}\sqrt{x+1} .

(x−1)x+1−(x+1)x−1=x−12x+1−x+12x−1=x−1x+1(x−1−x+1)=x2−1(x−1−x+1)(x-1)\sqrt{x+1} - (x+1)\sqrt{x-1} = \sqrt{x-1}^2\sqrt{x+1} - \sqrt{x+1}^2\sqrt{x-1} = \sqrt{x-1}\sqrt{x+1}(\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1}) = \sqrt{x^2-1}(\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1})

Zapisujemo drugi razlomak u uprošćenom obliku.

x+1(x−1)x+1−(x+1)x−1=x+1x2−1(x−1−x+1)\frac{\sqrt{x+1}}{(x-1)\sqrt{x+1} - (x+1)\sqrt{x-1}} = \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2-1}(\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1})}

Menjamo deljenje množenjem recipročnom vrednošću drugog razlomka i izjednačavamo sa 2.

(1+x2−1)x+1x−1−x+1⋅x2−1(x−1−x+1)x+1=2\frac{(1 + \sqrt{x^2-1})\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1}} \cdot \frac{\sqrt{x^2-1}(\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1})}{\sqrt{x+1}} = 2

Skraćujemo iste izraze u brojiocu i imeniocu (x+1 \sqrt{x+1} i x−1−x+1 \sqrt{x-1} - \sqrt{x+1} ).

(1+x2−1)⋅x2−1=2(1 + \sqrt{x^2-1}) \cdot \sqrt{x^2-1} = 2

Uvodimo smenu t=x2−1, t = \sqrt{x^2-1} , pri čemu je t≥0. t \ge 0 .

(1+t)t=2  ⟹  t2+t−2=0(1 + t)t = 2 \implies t^2 + t - 2 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po t. t .

t1,2=−1±12−4⋅1⋅(−2)2=−1±32t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}

Dobijamo dva rešenja za t. t .

t1=1,t2=−2t_1 = 1, \quad t_2 = -2

Odbacujemo negativno rešenje jer mora važiti t≥0, t \ge 0 , pa vraćamo smenu za t=1. t = 1 .

x2−1=1  ⟹  x2−1=1  ⟹  x2=2\sqrt{x^2-1} = 1 \implies x^2 - 1 = 1 \implies x^2 = 2

Korenujemo jednačinu, pri čemu dobijamo apsolutnu vrednost.

∣x∣=2|x| = \sqrt{2}

Definišemo apsolutnu vrednost.

∣x∣={x,za x≥0−x,za x<0|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Na osnovu definicije apsolutne vrednosti, dobijamo dva rešenja za x. x .

x=2∨x=−2x = \sqrt{2} \quad \lor \quad x = -\sqrt{2}

Proveravamo uslov domena (x>1 x > 1 ) i zapisujemo konačno rešenje.

x=2x = \sqrt{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti