Iracionalna jednačina sa složenim razlomkom

Određujemo domen jednačine. Zbog parnih korena u imeniocima mora važiti $x - 1 > 0$ i $x + 1 > 0 ,$ pa je domen $x > 1 .$

x > 1

Sređujemo brojilac prvog razlomka tako što ga svodimo na zajednički imenilac.

\frac{1}{\sqrt{x-1}} + \sqrt{x+1} = \frac{1 + \sqrt{x-1}\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}} = \frac{1 + \sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x-1}}

Sređujemo imenilac prvog razlomka svođenjem na zajednički imenilac.

\frac{1}{\sqrt{x+1}} - \frac{1}{\sqrt{x-1}} = \frac{\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}} = \frac{\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2-1}}

Delimo dobijeni brojilac i imenilac da bismo uprostili prvi razlomak.

\frac{\frac{1 + \sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x-1}}}{\frac{\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2-1}}} = \frac{(1 + \sqrt{x^2-1})\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x-1}(\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1})} = \frac{(1 + \sqrt{x^2-1})\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}(\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1})} = \frac{(1 + \sqrt{x^2-1})\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1}}

Sređujemo imenilac drugog razlomka izvlačenjem zajedničkog faktora $\sqrt{x-1}\sqrt{x+1} .$

(x-1)\sqrt{x+1} - (x+1)\sqrt{x-1} = \sqrt{x-1}^2\sqrt{x+1} - \sqrt{x+1}^2\sqrt{x-1} = \sqrt{x-1}\sqrt{x+1}(\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1}) = \sqrt{x^2-1}(\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1})

Zapisujemo drugi razlomak u uprošćenom obliku.

\frac{\sqrt{x+1}}{(x-1)\sqrt{x+1} - (x+1)\sqrt{x-1}} = \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2-1}(\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1})}

Menjamo deljenje množenjem recipročnom vrednošću drugog razlomka i izjednačavamo sa 2.

\frac{(1 + \sqrt{x^2-1})\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1}} \cdot \frac{\sqrt{x^2-1}(\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1})}{\sqrt{x+1}} = 2

Skraćujemo iste izraze u brojiocu i imeniocu ( $\sqrt{x+1}$ i $\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1}$ ).

(1 + \sqrt{x^2-1}) \cdot \sqrt{x^2-1} = 2

Uvodimo smenu $t = \sqrt{x^2-1} ,$ pri čemu je $t \ge 0 .$

(1 + t)t = 2 \implies t^2 + t - 2 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $t .$

t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}

Dobijamo dva rešenja za $t .$

t_1 = 1, \quad t_2 = -2

Odbacujemo negativno rešenje jer mora važiti $t \ge 0 ,$ pa vraćamo smenu za $t = 1 .$

\sqrt{x^2-1} = 1 \implies x^2 - 1 = 1 \implies x^2 = 2

Korenujemo jednačinu, pri čemu dobijamo apsolutnu vrednost.

|x| = \sqrt{2}

Definišemo apsolutnu vrednost.

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Na osnovu definicije apsolutne vrednosti, dobijamo dva rešenja za $x .$

x = \sqrt{2} \quad \lor \quad x = -\sqrt{2}

Proveravamo uslov domena ( $x > 1$ ) i zapisujemo konačno rešenje.

x = \sqrt{2}

363.b