PrethodniSledeći
1916.

377

TEKST ZADATKA

Naći sva realna rešenja jednačine x+3−4x−1+x+8−6x−1=1. \sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}} + \sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}} = 1 .

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen jednačine. Izraz pod unutrašnjim korenom mora biti nenegativan.

x−1≥0  ⟹  x≥1x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1

Uvodimo smenu t=x−1, t = \sqrt{x-1} , pri čemu je t≥0. t \ge 0 . Kvadriranjem dobijamo x−1=t2, x - 1 = t^2 , odnosno izražavamo x. x .

x=t2+1x = t^2 + 1

Zamenjujemo x x u prvom izrazu pod korenom i prepoznajemo kvadrat binoma.

x+3−4x−1=t2+1+3−4t=t2−4t+4=(t−2)2x + 3 - 4\sqrt{x-1} = t^2 + 1 + 3 - 4t = t^2 - 4t + 4 = (t-2)^2

Zamenjujemo x x u drugom izrazu pod korenom i takođe prepoznajemo kvadrat binoma.

x+8−6x−1=t2+1+8−6t=t2−6t+9=(t−3)2x + 8 - 6\sqrt{x-1} = t^2 + 1 + 8 - 6t = t^2 - 6t + 9 = (t-3)^2

Vraćamo dobijene izraze u početnu jednačinu.

(t−2)2+(t−3)2=1\sqrt{(t-2)^2} + \sqrt{(t-3)^2} = 1

Koristimo svojstvo a2=∣a∣ \sqrt{a^2} = |a| da pojednostavimo jednačinu.

∣t−2∣+∣t−3∣=1|t-2| + |t-3| = 1

Definišemo prvu apsolutnu vrednost:

∣t−2∣={t−2,za t−2≥0−(t−2),za t−2<0|t-2| = \begin{cases} t-2, & \text{za } t-2 \ge 0 \\ -(t-2), & \text{za } t-2 < 0 \end{cases}

Definišemo drugu apsolutnu vrednost:

∣t−3∣={t−3,za t−3≥0−(t−3),za t−3<0|t-3| = \begin{cases} t-3, & \text{za } t-3 \ge 0 \\ -(t-3), & \text{za } t-3 < 0 \end{cases}
t∈[0,2)t \in [0, 2)
t∈(2,3)t \in (2, 3)
t∈(3,+∞)t \in (3, +\infty)
t−2t-2
++
++
++
t−3t-3
++
++
++

Analiziramo prvi slučaj kada je t∈[0,2). t \in [0, 2) . Tada su oba izraza pod apsolutnom vrednošću negativna.

−(t−2)−(t−3)=1  ⟹  −2t+5=1  ⟹  2t=4  ⟹  t=2-(t-2) - (t-3) = 1 \implies -2t + 5 = 1 \implies 2t = 4 \implies t = 2

Rešenje t=2 t = 2 ne pripada otvorenom intervalu [0,2), [0, 2) , pa u ovom intervalu nema rešenja.

t∉[0,2)t \notin [0, 2)

Analiziramo drugi slučaj kada je t∈[2,3]. t \in [2, 3] . Tada je prvi izraz nenegativan, a drugi nepozitivan.

(t−2)−(t−3)=1  ⟹  t−2−t+3=1  ⟹  1=1(t-2) - (t-3) = 1 \implies t - 2 - t + 3 = 1 \implies 1 = 1

Dobili smo tačnu jednakost, što znači da je svaki broj iz ovog intervala rešenje jednačine.

t∈[2,3]t \in [2, 3]

Analiziramo treći slučaj kada je t∈(3,+∞). t \in (3, +\infty) . Tada su oba izraza pozitivna.

(t−2)+(t−3)=1  ⟹  2t−5=1  ⟹  2t=6  ⟹  t=3(t-2) + (t-3) = 1 \implies 2t - 5 = 1 \implies 2t = 6 \implies t = 3

Rešenje t=3 t = 3 ne pripada intervalu (3,+∞), (3, +\infty) , pa ni u ovom intervalu nema novih rešenja.

t∉(3,+∞)t \notin (3, +\infty)

Konačno rešenje za promenljivu t t je unija rešenja iz svih slučajeva.

t∈[2,3]t \in [2, 3]

Vraćamo smenu t=x−1 t = \sqrt{x-1} da bismo našli rešenja za x. x .

2≤x−1≤32 \le \sqrt{x-1} \le 3

Kvadriramo nejednakost (što je dozvoljeno jer su sve strane pozitivne) i računamo x. x .

4≤x−1≤9  ⟹  5≤x≤104 \le x-1 \le 9 \implies 5 \le x \le 10

Dobijeni interval se u potpunosti nalazi unutar domena x≥1, x \ge 1 , pa je to konačno rešenje jednačine.

x∈[5,10]x \in [5, 10]

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu