Jednačina sa dvostrukim korenima: rešenje od 5 do 10

Prvo određujemo domen jednačine. Izraz pod unutrašnjim korenom mora biti nenegativan.

x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1

Uvodimo smenu $t = \sqrt{x-1} ,$ pri čemu je $t \ge 0 .$ Kvadriranjem dobijamo $x - 1 = t^2 ,$ odnosno izražavamo $x .$

x = t^2 + 1

Zamenjujemo $x$ u prvom izrazu pod korenom i prepoznajemo kvadrat binoma.

x + 3 - 4\sqrt{x-1} = t^2 + 1 + 3 - 4t = t^2 - 4t + 4 = (t-2)^2

Zamenjujemo $x$ u drugom izrazu pod korenom i takođe prepoznajemo kvadrat binoma.

x + 8 - 6\sqrt{x-1} = t^2 + 1 + 8 - 6t = t^2 - 6t + 9 = (t-3)^2

Vraćamo dobijene izraze u početnu jednačinu.

\sqrt{(t-2)^2} + \sqrt{(t-3)^2} = 1

Koristimo svojstvo $\sqrt{a^2} = |a|$ da pojednostavimo jednačinu.

|t-2| + |t-3| = 1

Definišemo prvu apsolutnu vrednost:

|t-2| = \begin{cases} t-2, & \text{za } t-2 \ge 0 \\ -(t-2), & \text{za } t-2 < 0 \end{cases}

Definišemo drugu apsolutnu vrednost:

|t-3| = \begin{cases} t-3, & \text{za } t-3 \ge 0 \\ -(t-3), & \text{za } t-3 < 0 \end{cases}

t \in [0, 2)

t \in (2, 3)

t \in (3, +\infty)

t-2

+

+

+

t-3

+

+

+

Analiziramo prvi slučaj kada je $t \in [0, 2) .$ Tada su oba izraza pod apsolutnom vrednošću negativna.

-(t-2) - (t-3) = 1 \implies -2t + 5 = 1 \implies 2t = 4 \implies t = 2

Rešenje $t = 2$ ne pripada otvorenom intervalu $[0, 2) ,$ pa u ovom intervalu nema rešenja.

t \notin [0, 2)

Analiziramo drugi slučaj kada je $t \in [2, 3] .$ Tada je prvi izraz nenegativan, a drugi nepozitivan.

(t-2) - (t-3) = 1 \implies t - 2 - t + 3 = 1 \implies 1 = 1

Dobili smo tačnu jednakost, što znači da je svaki broj iz ovog intervala rešenje jednačine.

t \in [2, 3]

Analiziramo treći slučaj kada je $t \in (3, +\infty) .$ Tada su oba izraza pozitivna.

(t-2) + (t-3) = 1 \implies 2t - 5 = 1 \implies 2t = 6 \implies t = 3

Rešenje $t = 3$ ne pripada intervalu $(3, +\infty) ,$ pa ni u ovom intervalu nema novih rešenja.

t \notin (3, +\infty)

Konačno rešenje za promenljivu $t$ je unija rešenja iz svih slučajeva.

t \in [2, 3]

Vraćamo smenu $t = \sqrt{x-1}$ da bismo našli rešenja za $x .$

2 \le \sqrt{x-1} \le 3

Kvadriramo nejednakost (što je dozvoljeno jer su sve strane pozitivne) i računamo $x .$

4 \le x-1 \le 9 \implies 5 \le x \le 10

Dobijeni interval se u potpunosti nalazi unutar domena $x \ge 1 ,$ pa je to konačno rešenje jednačine.

x \in [5, 10]

377