1917. Iracionalne jednačine i nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) nejednačine. Potkorene veličine moraju biti nenegativne.

\begin{cases} 2x - 3 \ge 0 \\ x - 5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{3}{2} \\ x \ge 5 \end{cases}

Presek ovih uslova daje nam domen nejednačine.

x \in [5, +\infty)

Da bismo izbegli kvadriranje negativnih brojeva, prebacujemo negativni koren na desnu stranu.

\sqrt{2x-3} < 4 + \sqrt{x-5}

Pošto su za $x \ge 5$ obe strane nejednačine strogo pozitivne, možemo ih kvadrirati bez promene znaka nejednakosti.

(\sqrt{2x-3})^2 < (4 + \sqrt{x-5})^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na desnoj strani i sređujemo izraz.

2x - 3 < 16 + 8\sqrt{x-5} + x - 5

Grupišemo članove bez korena na levu stranu.

x - 14 < 8\sqrt{x-5}

Sada analiziramo dobijenu nejednačinu u zavisnosti od znaka leve strane. Razlikujemo dva slučaja. **Prvi slučaj:** Neka je leva strana negativna, odnosno $x - 14 < 0 \implies x < 14 .$ Uzimajući u obzir domen, imamo uslov za ovaj slučaj:

x \in [5, 14)

U ovom slučaju, leva strana je negativna, a desna strana $8\sqrt{x-5}$ je uvek nenegativna. Pošto je negativan broj uvek manji od nenegativnog, nejednačina je tačna za sve $x$ iz ovog intervala. Rešenje prvog slučaja je:

x \in [5, 14)

**Drugi slučaj:** Neka je leva strana nenegativna, odnosno $x - 14 \ge 0 \implies x \ge 14 .$

x \in [14, +\infty)

Tada su obe strane nejednačine nenegativne, pa ih možemo ponovo kvadrirati.

(x - 14)^2 < (8\sqrt{x-5})^2

Razvijamo kvadrate i sređujemo nejednačinu.

x^2 - 28x + 196 < 64(x - 5)

Prebacujemo sve članove na levu stranu.

x^2 - 28x + 196 < 64x - 320 \implies x^2 - 92x + 516 < 0

Rešavamo odgovarajuću kvadratnu jednačinu $x^2 - 92x + 516 = 0$ da bismo našli nule.

x_{1,2} = \frac{92 \pm \sqrt{(-92)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 516}}{2} = \frac{92 \pm \sqrt{8464 - 2064}}{2}

Računamo vrednost korena.

x_{1,2} = \frac{92 \pm \sqrt{6400}}{2} = \frac{92 \pm 80}{2}

Dobijamo rešenja kvadratne jednačine:

x_1 = 6, \quad x_2 = 86

Analiziramo znak kvadratnog trinoma $x^2 - 92x + 516 .$

x \in (-\infty, 6)

x \in (6, 86)

x \in (86, +\infty)

x^2 - 92x + 516

+

-

+

Na osnovu tabele, rešenje kvadratne nejednačine je interval gde je trinom negativan:

x \in (6, 86)

Nalazimo presek ovog rešenja sa uslovom drugog slučaja $x \ge 14 .$

x \in [14, +\infty) \cap (6, 86) \implies x \in [14, 86)

Konačno rešenje dobijamo unijom rešenja iz prvog i drugog slučaja.

x \in [5, 14) \cup [14, 86)

Spajanjem ova dva intervala dobijamo konačan skup rešenja nejednačine.

x \in [5, 86)

374.b