1921. Iracionalne jednačine i nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) nejednačine. Potkorene veličine moraju biti nenegativne:

x+6 \ge 0, \quad x+1 \ge 0, \quad 2x-5 \ge 0

Rešavamo ove nejednačine:

x \ge -6, \quad x \ge -1, \quad x \ge \frac{5}{2}

Presek ovih uslova daje domen nejednačine:

x \in \left[\frac{5}{2}, +\infty\right)

Pošto su obe strane nejednačine nenegativne na domenu, možemo ih kvadrirati:

(\sqrt{x+6})^2 > (\sqrt{x+1} + \sqrt{2x-5})^2

Kvadriramo desnu stranu kao binom:

x+6 > (x+1) + 2\sqrt{(x+1)(2x-5)} + (2x-5)

Sređujemo izraz i grupišemo članove van korena na levu stranu:

x+6 - x - 1 - 2x + 5 > 2\sqrt{2x^2 - 5x + 2x - 5}

Dobijamo uprošćen izraz:

10 - 2x > 2\sqrt{2x^2 - 3x - 5}

Delimo celu nejednačinu sa 2:

5 - x > \sqrt{2x^2 - 3x - 5}

Dobili smo nejednačinu oblika $\sqrt{A} < B .$ Ona je ekvivalentna sistemu: $A \ge 0 ,$ $B > 0$ i $A < B^2 .$ Uslov $A \ge 0$ je već obuhvaćen početnim domenom, pa postavljamo uslov za desnu stranu:

5 - x > 0 \implies x < 5

Kvadriramo nejednačinu:

2x^2 - 3x - 5 < (5 - x)^2

Razvijamo kvadrat binoma i prebacujemo sve na levu stranu:

2x^2 - 3x - 5 < 25 - 10x + x^2

Sređujemo kvadratnu nejednačinu:

x^2 + 7x - 30 < 0

Nalazimo nule kvadratne funkcije $x^2 + 7x - 30 = 0 .$ To su $x_1 = -10$ i $x_2 = 3 .$ Formiramo tabelu znaka za izraz $(x+10)(x-3) .$

x \in (-\infty, -10)

x \in (-10, 3)

x \in (3, +\infty)

x+10

+

+

+

x-3

+

+

+

(x+10)(x-3)

+

+

+

Na osnovu tabele, rešenje nejednačine $x^2 + 7x - 30 < 0$ je:

x \in (-10, 3)

Konačno rešenje dobijamo u preseku početnog domena, uslova za desnu stranu i rešenja kvadratne nejednačine:

x \in \left[\frac{5}{2}, +\infty\right) \cap (-\infty, 5) \cap (-10, 3)

Presek ovih intervala je:

x \in \left[\frac{5}{2}, 3\right)

374.a