1920. Iracionalne jednačine i nejednačine

Određujemo domen jednačine. Izraz pod korenom mora biti nenegativan:

2x - 5 \ge 0 \implies x \ge \frac{5}{2}

Uvodimo smenu $t = \sqrt{2x-5} ,$ pri čemu je $t \ge 0 .$ Izražavamo $x$ preko $t :$

t^2 = 2x - 5 \implies x = \frac{t^2 + 5}{2}

Zamenjujemo $x$ u prvi izraz pod korenom:

x - 2 + \sqrt{2x-5} = \frac{t^2 + 5}{2} - 2 + t = \frac{t^2 + 2t + 1}{2} = \frac{(t+1)^2}{2}

Zamenjujemo $x$ u drugi izraz pod korenom:

x + 2 + 3\sqrt{2x-5} = \frac{t^2 + 5}{2} + 2 + 3t = \frac{t^2 + 6t + 9}{2} = \frac{(t+3)^2}{2}

Sada početna jednačina postaje:

\sqrt{\frac{(t+1)^2}{2}} + \sqrt{\frac{(t+3)^2}{2}} = 7\sqrt{2}

Primenjujemo svojstvo korena $\sqrt{a^2} = |a| :$

\frac{|t+1|}{\sqrt{2}} + \frac{|t+3|}{\sqrt{2}} = 7\sqrt{2}

Definišemo prvu apsolutnu vrednost:

|t+1| = \begin{cases} t+1, & \text{za } t+1 \ge 0 \\ -(t+1), & \text{za } t+1 < 0 \end{cases}

Definišemo drugu apsolutnu vrednost:

|t+3| = \begin{cases} t+3, & \text{za } t+3 \ge 0 \\ -(t+3), & \text{za } t+3 < 0 \end{cases}

Pošto je $t \ge 0 ,$ izrazi $t+1$ i $t+3$ su uvek pozitivni, pa apsolutne zagrade možemo skloniti:

\frac{t+1}{\sqrt{2}} + \frac{t+3}{\sqrt{2}} = 7\sqrt{2}

Množimo celu jednačinu sa $\sqrt{2}$ i rešavamo po $t :$

t + 1 + t + 3 = 14 \implies 2t + 4 = 14 \implies 2t = 10 \implies t = 5

Vraćamo smenu $t = \sqrt{2x-5} :$

\sqrt{2x-5} = 5

Kvadriramo obe strane jednačine:

2x - 5 = 25 \implies 2x = 30 \implies x = 15

Proveravamo da li rešenje pripada domenu $x \ge \frac{5}{2} .$ Pošto je $15 \ge \frac{5}{2} ,$ rešenje je validno.

x = 15

1920.Iracionalne jednačine i nejednačine