Podeli

1919.
Iracionalne jednačine i nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Iracionalna nejednačina oblika $\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}$ je ekvivalentna sistemu nejednačina:

\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > g(x) \end{cases}

Primenjujemo ovo pravilo na našu nejednačinu:

\begin{cases} 2x+3 \ge 0 \\ 3x^2-5x-3 > 2x+3 \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu (uslov definisanosti desne strane):

2x \ge -3 \implies x \ge -\frac{3}{2}

Sređujemo drugu nejednačinu prebacivanjem svih članova na levu stranu:

3x^2 - 5x - 3 - 2x - 3 > 0 \implies 3x^2 - 7x - 6 > 0

Da bismo rešili kvadratnu nejednačinu, prvo tražimo korene odgovarajuće kvadratne jednačine $3x^2 - 7x - 6 = 0 :$

x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6)}}{2 \cdot 3}

Računamo vrednosti pod korenom:

x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 72}}{6} = \frac{7 \pm \sqrt{121}}{6} = \frac{7 \pm 11}{6}

Dobijamo dva rešenja za $x :$

x_1 = \frac{18}{6} = 3, \quad x_2 = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}

Faktorišemo kvadratni trinom kako bismo analizirali njegov znak pomoću tabele:

3x^2 - 7x - 6 = 3\left(x+\frac{2}{3}\right)(x-3)

x \in \left(-\infty, -\frac{2}{3}\right)

x \in \left(-\frac{2}{3}, 3\right)

x \in (3, +\infty)

x+\frac{2}{3}

+

+

+

x-3

+

+

+

3x^2-7x-6

+

+

+

Na osnovu tabele, kvadratni trinom je strogo veći od nule za:

x \in \left(-\infty, -\frac{2}{3}\right) \cup (3, +\infty)

Konačno rešenje dobijamo u preseku rešenja prve i druge nejednačine sistema:

x \in \left[-\frac{3}{2}, +\infty\right) \cap \left( \left(-\infty, -\frac{2}{3}\right) \cup (3, +\infty) \right)

Zapisujemo konačan skup rešenja:

x \in \left[-\frac{3}{2}, -\frac{2}{3}\right) \cup (3, +\infty)

1919.Iracionalne jednačine i nejednačine