1918.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

x+2x−1−x−2x−1=2\sqrt{x+2\sqrt{x-1}} - \sqrt{x-2\sqrt{x-1}} = 2
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen jednačine. Izraz pod unutrašnjim korenom mora biti nenegativan.

x−1≥0  ⟹  x≥1x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1

Transformišemo izraze pod spoljašnjim korenovima tako što ih zapisujemo kao kvadrate binoma. Dodajemo i oduzimamo 1 1 kako bismo formirali izraz (x−1±1)2. (\sqrt{x-1} \pm 1)^2 .

x±2x−1=(x−1)±2x−1+1=(x−1±1)2x \pm 2\sqrt{x-1} = (x - 1) \pm 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1} \pm 1)^2

Zamenjujemo dobijene kvadrate binoma nazad u početnu jednačinu.

(x−1+1)2−(x−1−1)2=2\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2} - \sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2} = 2

Primenjujemo osobinu korena a2=∣a∣. \sqrt{a^2} = |a| .

∣x−1+1∣−∣x−1−1∣=2|\sqrt{x-1}+1| - |\sqrt{x-1}-1| = 2

Definišemo prvu apsolutnu vrednost.

∣x−1+1∣={x−1+1,za x−1+1≥0−(x−1+1),za x−1+1<0|\sqrt{x-1}+1| = \begin{cases} \sqrt{x-1}+1, & \text{za } \sqrt{x-1}+1 \ge 0 \\ -(\sqrt{x-1}+1), & \text{za } \sqrt{x-1}+1 < 0 \end{cases}

Pošto je koren uvek nenegativan (x−1≥0 \sqrt{x-1} \ge 0 ), izraz x−1+1 \sqrt{x-1}+1 je uvek strogo veći od nule, pa za prvu apsolutnu vrednost uvek važi prvi slučaj.

∣x−1+1∣=x−1+1|\sqrt{x-1}+1| = \sqrt{x-1}+1

Definišemo drugu apsolutnu vrednost.

∣x−1−1∣={x−1−1,za x−1−1≥0−(x−1−1),za x−1−1<0|\sqrt{x-1}-1| = \begin{cases} \sqrt{x-1}-1, & \text{za } \sqrt{x-1}-1 \ge 0 \\ -(\sqrt{x-1}-1), & \text{za } \sqrt{x-1}-1 < 0 \end{cases}

Analiziramo uslove za drugu apsolutnu vrednost. Prvi slučaj važi kada je x−1≥1, \sqrt{x-1} \ge 1 , odnosno x≥2. x \ge 2 . Drugi slučaj važi kada je x−1<1, \sqrt{x-1} < 1 , odnosno uzimajući u obzir domen, 1≤x<2. 1 \le x < 2 .

{x≥2,prvi slucˇaj1≤x<2,drugi slucˇaj\begin{cases} x \ge 2, & \text{prvi slučaj} \\ 1 \le x < 2, & \text{drugi slučaj} \end{cases}

Rešavamo jednačinu za prvi slučaj, kada je x≥2. x \ge 2 . Tada je ∣x−1−1∣=x−1−1. |\sqrt{x-1}-1| = \sqrt{x-1}-1 .

(x−1+1)−(x−1−1)=2(\sqrt{x-1}+1) - (\sqrt{x-1}-1) = 2

Sređujemo dobijeni izraz.

x−1+1−x−1+1=2  ⟹  2=2\sqrt{x-1} + 1 - \sqrt{x-1} + 1 = 2 \implies 2 = 2

Dobili smo tačnu jednakost, što znači da su svi brojevi iz intervala x≥2 x \ge 2 rešenja jednačine.

x∈[2,+∞)x \in [2, +\infty)

Rešavamo jednačinu za drugi slučaj, kada je 1≤x<2. 1 \le x < 2 . Tada je ∣x−1−1∣=−(x−1−1). |\sqrt{x-1}-1| = -(\sqrt{x-1}-1) .

(x−1+1)−(−(x−1−1))=2(\sqrt{x-1}+1) - (-(\sqrt{x-1}-1)) = 2

Sređujemo izraz i računamo vrednost za x. x .

x−1+1+x−1−1=2  ⟹  2x−1=2  ⟹  x−1=1\sqrt{x-1} + 1 + \sqrt{x-1} - 1 = 2 \implies 2\sqrt{x-1} = 2 \implies \sqrt{x-1} = 1

Kvadriramo obe strane i rešavamo po x. x .

x−1=1  ⟹  x=2x - 1 = 1 \implies x = 2

Dobijeno rešenje x=2 x = 2 ne pripada strogo intervalu 1≤x<2 1 \le x < 2 (već je obuhvaćeno prvim slučajem), pa u ovom intervalu nema novih rešenja. Konačno rešenje je unija rešenja iz oba slučaja.

x∈[2,+∞)x \in [2, +\infty)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti