Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) nejednačine. Potkorene veličine moraju biti nenegativne.
{2x−3≥0x−5≥0⟹{x≥23x≥5
Presek ovih uslova daje nam domen nejednačine.
x∈[5,+∞)
Da bismo izbegli kvadriranje negativnih brojeva, prebacujemo negativni koren na desnu stranu.
2x−3<4+x−5
Pošto su za x≥5 obe strane nejednačine strogo pozitivne, možemo ih kvadrirati bez promene znaka nejednakosti.
(2x−3)2<(4+x−5)2
Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na desnoj strani i sređujemo izraz.
2x−3<16+8x−5+x−5
Grupišemo članove bez korena na levu stranu.
x−14<8x−5
Sada analiziramo dobijenu nejednačinu u zavisnosti od znaka leve strane. Razlikujemo dva slučaja.
**Prvi slučaj:** Neka je leva strana negativna, odnosno x−14<0⟹x<14. Uzimajući u obzir domen, imamo uslov za ovaj slučaj:
x∈[5,14)
U ovom slučaju, leva strana je negativna, a desna strana 8x−5 je uvek nenegativna. Pošto je negativan broj uvek manji od nenegativnog, nejednačina je tačna za sve x iz ovog intervala. Rešenje prvog slučaja je:
x∈[5,14)
**Drugi slučaj:** Neka je leva strana nenegativna, odnosno x−14≥0⟹x≥14.
x∈[14,+∞)
Tada su obe strane nejednačine nenegativne, pa ih možemo ponovo kvadrirati.
(x−14)2<(8x−5)2
Razvijamo kvadrate i sređujemo nejednačinu.
x2−28x+196<64(x−5)
Prebacujemo sve članove na levu stranu.
x2−28x+196<64x−320⟹x2−92x+516<0
Rešavamo odgovarajuću kvadratnu jednačinu x2−92x+516=0 da bismo našli nule.
x1,2=292±(−92)2−4⋅1⋅516=292±8464−2064
Računamo vrednost korena.
x1,2=292±6400=292±80
Dobijamo rešenja kvadratne jednačine:
x1=6,x2=86
Analiziramo znak kvadratnog trinoma x2−92x+516.
x∈(−∞,6)
x∈(6,86)
x∈(86,+∞)
x2−92x+516
+
−
+
Na osnovu tabele, rešenje kvadratne nejednačine je interval gde je trinom negativan:
x∈(6,86)
Nalazimo presek ovog rešenja sa uslovom drugog slučaja x≥14.
x∈[14,+∞)∩(6,86)⟹x∈[14,86)
Konačno rešenje dobijamo unijom rešenja iz prvog i drugog slučaja.
x∈[5,14)∪[14,86)
Spajanjem ova dva intervala dobijamo konačan skup rešenja nejednačine.