1922.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši nejednačinu:

x+7>∣x−5∣4\sqrt{x+7} > \frac{|x-5|}{4}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen nejednačine. Izraz pod kvadratnim korenom mora biti nenegativan:

x+7≥0  ⟹  x≥−7x + 7 \ge 0 \implies x \ge -7

Definišemo apsolutnu vrednost izraza ∣x−5∣ |x-5| po definiciji:

∣x−5∣={x−5,za x−5≥0−(x−5),za x−5<0={x−5,za x≥55−x,za x<5|x-5| = \begin{cases} x-5, & \text{za } x-5 \ge 0 \\ -(x-5), & \text{za } x-5 < 0 \end{cases} = \begin{cases} x-5, & \text{za } x \ge 5 \\ 5-x, & \text{za } x < 5 \end{cases}

Zbog domena x≥−7 x \ge -7 i definicije apsolutne vrednosti, zadatak delimo na dva slučaja:

1) x∈[−7,5)i2) x∈[5,+∞)\text{1) } x \in [-7, 5) \quad \text{i} \quad \text{2) } x \in [5, +\infty)

Prvi slučaj: x∈[−7,5). x \in [-7, 5) . Tada je ∣x−5∣=5−x. |x-5| = 5-x . Pošto su obe strane nejednačine pozitivne, možemo ih kvadrirati:

x+7>5−x4/()2\sqrt{x+7} > \frac{5-x}{4} \quad \Big/ ()^2

Kvadriramo i množimo sa 16 kako bismo se oslobodili razlomka:

16(x+7)>(5−x)216(x+7) > (5-x)^2

Razvijamo kvadrat binoma i prebacujemo sve članove na jednu stranu:

16x+112>25−10x+x2  ⟹  x2−26x−87<016x + 112 > 25 - 10x + x^2 \implies x^2 - 26x - 87 < 0

Računamo korene odgovarajuće kvadratne jednačine x2−26x−87=0: x^2 - 26x - 87 = 0 :

x1,2=26±(−26)2−4⋅1⋅(−87)2=26±676+3482=26±322x_{1,2} = \frac{26 \pm \sqrt{(-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-87)}}{2} = \frac{26 \pm \sqrt{676 + 348}}{2} = \frac{26 \pm 32}{2}

Koreni su x1=−3 x_1 = -3 i x2=29. x_2 = 29 . Zapisujemo kvadratni trinom u faktorisanom obliku kako bismo analizirali znak:

(x+3)(x−29)<0(x+3)(x-29) < 0
x∈(−∞,−3)x \in (-\infty, -3)
x∈(−3,29)x \in (-3, 29)
x∈(29,+∞)x \in (29, +\infty)
x+3x+3
++
++
++
x−29x-29
++
++
++
(x+3)(x−29)(x+3)(x-29)
++
++
++

Na osnovu tabele znakova, rešenje kvadratne nejednačine je:

x∈(−3,29)x \in (-3, 29)

Tražimo presek ovog rešenja sa uslovom prvog slučaja x∈[−7,5): x \in [-7, 5) :

x∈(−3,29)∩[−7,5)  ⟹  x∈(−3,5)x \in (-3, 29) \cap [-7, 5) \implies x \in (-3, 5)

Drugi slučaj: x≥5. x \ge 5 . Tada je ∣x−5∣=x−5. |x-5| = x-5 . Obe strane su nenegativne, pa ponovo kvadriramo:

x+7>x−54/()2\sqrt{x+7} > \frac{x-5}{4} \quad \Big/ ()^2

Kvadriranjem i sređivanjem dobijamo istu kvadratnu nejednačinu kao u prvom slučaju:

16(x+7)>(x−5)2  ⟹  16x+112>x2−10x+25  ⟹  x2−26x−87<016(x+7) > (x-5)^2 \implies 16x + 112 > x^2 - 10x + 25 \implies x^2 - 26x - 87 < 0

Rešenje ove kvadratne nejednačine je isto, x∈(−3,29). x \in (-3, 29) . Tražimo presek sa uslovom drugog slučaja x≥5: x \ge 5 :

x∈(−3,29)∩[5,+∞)  ⟹  x∈[5,29)x \in (-3, 29) \cap [5, +\infty) \implies x \in [5, 29)

Konačno rešenje dobijamo unijom rešenja iz prvog i drugog slučaja:

x∈(−3,5)∪[5,29)=(−3,29)x \in (-3, 5) \cup [5, 29) = (-3, 29)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti