1909.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši nejednačinu: 1−1−x2x⩽13 \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x} \leqslant \frac{1}{\sqrt{3}}

1−1−x2x⩽13\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x} \leqslant \frac{1}{\sqrt{3}}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) nejednačine. Izraz pod kvadratnim korenom mora biti nenegativan, a imenilac različit od nule.

{1−x2≥0x≠0\begin{cases} 1 - x^2 \ge 0 \\ x \neq 0 \end{cases}

Rešavamo sistem nejednačina za domen.

{x2≤1x≠0  ⟹  x∈[−1,0)∪(0,1]\begin{cases} x^2 \le 1 \\ x \neq 0 \end{cases} \implies x \in [-1, 0) \cup (0, 1]

Analiziramo znak brojioca 1−1−x2. 1 - \sqrt{1-x^2} . Za svako x∈[−1,0)∪(0,1] x \in [-1, 0) \cup (0, 1] važi 0≤1−x2<1, 0 \le 1-x^2 < 1 , pa je 0≤1−x2<1. 0 \le \sqrt{1-x^2} < 1 . Zbog toga je brojilac uvek strogo pozitivan.

1−1−x2>01 - \sqrt{1-x^2} > 0

Razmatramo prvi slučaj kada je x∈[−1,0). x \in [-1, 0) . Tada je imenilac negativan, pa je ceo razlomak na levoj strani negativan.

1−1−x2x<0\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x} < 0

Kako je negativan broj uvek manji od pozitivnog broja 13, \frac{1}{\sqrt{3}} , nejednačina je tačna za sve vrednosti iz ovog intervala.

x∈[−1,0)x \in [-1, 0)

Razmatramo drugi slučaj kada je x∈(0,1]. x \in (0, 1] . Tada je x>0, x > 0 , pa možemo pomnožiti obe strane nejednačine sa x x bez promene znaka nejednakosti.

1−1−x2⩽x31 - \sqrt{1-x^2} \leqslant \frac{x}{\sqrt{3}}

Preuređujemo nejednačinu tako da koren ostane sam na jednoj strani.

1−x2≥1−x3\sqrt{1-x^2} \ge 1 - \frac{x}{\sqrt{3}}

Pošto je x∈(0,1], x \in (0, 1] , važi x3≤13<1, \frac{x}{\sqrt{3}} \le \frac{1}{\sqrt{3}} < 1 , pa je izraz na desnoj strani pozitivan. Zbog toga možemo kvadrirati obe strane bez promene znaka.

1−x2≥(1−x3)21 - x^2 \ge \left(1 - \frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2

Kvadriramo desnu stranu primenom formule za kvadrat binoma.

1−x2≥1−2x3+x231 - x^2 \ge 1 - \frac{2x}{\sqrt{3}} + \frac{x^2}{3}

Oduzimamo 1 sa obe strane, prebacujemo sve na levu stranu i sabiramo članove uz x2. x^2 .

−4x23+2x3≥0-\frac{4x^2}{3} + \frac{2x}{\sqrt{3}} \ge 0

Množimo nejednačinu sa −32 -\frac{3}{2} (uz obaveznu promenu znaka nejednakosti) da bismo uprostili izraz.

2x2−3x⩽02x^2 - \sqrt{3}x \leqslant 0

Faktorišemo kvadratni izraz izvlačenjem zajedničkog činioca x x kako bismo odredili znak.

x(2x−3)⩽0x(2x - \sqrt{3}) \leqslant 0
x∈(−∞,0)x \in (-\infty, 0)
x∈(0,32)x \in (0, \frac{\sqrt{3}}{2})
x∈(32,+∞)x \in (\frac{\sqrt{3}}{2}, +\infty)
xx
++
++
++
2x−32x-\sqrt{3}
++
++
++
x(2x−3)x(2x-\sqrt{3})
++
++
++

Na osnovu tabele znakova, rešenje nejednačine x(2x−3)⩽0 x(2x - \sqrt{3}) \leqslant 0 je interval gde je izraz negativan ili jednak nuli.

x∈[0,32]x \in \left[0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]

Uzimajući u obzir uslov drugog slučaja x∈(0,1], x \in (0, 1] , nalazimo presek intervala.

x∈(0,32]x \in \left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]

Konačno rešenje dobijamo unijom rešenja iz prvog i drugog slučaja.

x∈[−1,0)∪(0,32]x \in [-1, 0) \cup \left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti