Nejednačina: koren iz x + 2 manji od 4 − x

Da bi kvadratni koren bio definisan, potkorena veličina mora biti nenegativna.

x+2 \ge 0 \implies x \ge -2

Pošto je kvadratni koren uvek nenegativan, desna strana nejednačine mora biti strogo pozitivna da bi nejednačina imala rešenja.

4-x > 0 \implies x < 4

Presek ova dva uslova nam daje oblast u kojoj tražimo rešenje.

x \in [-2, 4)

Sada kada znamo da su obe strane nenegativne na ovom intervalu, možemo kvadrirati nejednačinu.

(\sqrt{x+2})^2 < (4-x)^2

Kvadriramo izraze na obe strane.

x+2 < 16 - 8x + x^2

Prebacimo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu nejednačinu.

x^2 - 9x + 14 > 0

Nalazimo nule kvadratne jednačine $x^2 - 9x + 14 = 0$ kako bismo je faktorisali.

x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2} = \frac{9 \pm 5}{2}

Rešenja su $x_1 = 2$ i $x_2 = 7 ,$ pa nejednačinu možemo zapisati u faktorisanom obliku.

(x-2)(x-7) > 0

x \in (-\infty, 2)

x \in (2, 7)

x \in (7, +\infty)

x-2

+

+

+

x-7

+

+

+

(x-2)(x-7)

+

+

+

Na osnovu tabele znakova, rešenje kvadratne nejednačine je tamo gde je izraz pozitivan.

x \in (-\infty, 2) \cup (7, +\infty)

Konačno rešenje dobijamo u preseku rešenja kvadratne nejednačine i početnog uslova $x \in [-2, 4) .$

x \in [-2, 4) \cap ((-\infty, 2) \cup (7, +\infty))

Presek ovih intervala daje konačno rešenje nejednačine.

x \in [-2, 2)

373.v