Iracionalna nejednačina sa razlomkom manja od 1

Da bi kvadratni koren bio definisan, izraz pod njim mora biti nenegativan, a imenilac različit od nule:

\frac{3x+1}{x^2+x-2} \ge 0

Rastavljamo imenilac na činioce rešavanjem kvadratne jednačine $x^2+x-2=0 :$

x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} \implies x_1 = -2, x_2 = 1

Zapisujemo uslov definisanosti u faktorisanoj formi:

\frac{3x+1}{(x+2)(x-1)} \ge 0

Formiramo tabelu znakova za određivanje domena. Nule izraza su $x = -2 ,$ $x = -\frac{1}{3}$ i $x = 1 .$

x \in (-\infty, -2)

x \in (-2, -\frac{1}{3})

x \in (-\frac{1}{3}, 1)

x \in (1, +\infty)

3x+1

-

-

+

+

x+2

-

+

+

+

x-1

-

-

-

+

\text{Izraz}

-

+

-

+

Na osnovu tabele, domen nejednačine (uzimajući u obzir da imenilac ne sme biti nula) je:

x \in \left(-2, -\frac{1}{3}\right] \cup (1, +\infty)

Pošto su obe strane polazne nejednačine nenegativne (koren je uvek veći ili jednak nuli), možemo ih kvadrirati:

\frac{3x+1}{x^2+x-2} < 1

Prebacujemo 1 na levu stranu i svodimo na zajednički imenilac:

\frac{3x+1 - (x^2+x-2)}{x^2+x-2} < 0

Sređujemo brojilac:

\frac{-x^2+2x+3}{x^2+x-2} < 0

Množimo nejednačinu sa -1, pri čemu se menja znak nejednakosti:

\frac{x^2-2x-3}{x^2+x-2} > 0

Rastavljamo brojilac na činioce. Nule polinoma $x^2-2x-3$ su $x = -1$ i $x = 3 :$

\frac{(x+1)(x-3)}{(x+2)(x-1)} > 0

Formiramo tabelu znakova za rešavanje ove racionalne nejednačine. Nule su $-2, -1, 1, 3 .$

x \in (-\infty, -2)

x \in (-2, -1)

x \in (-1, 1)

x \in (1, 3)

x \in (3, +\infty)

x+1

-

-

+

+

+

x-3

-

-

-

-

+

x+2

-

+

+

+

+

x-1

-

-

-

+

+

\text{Izraz}

+

-

+

-

+

Rešenje racionalne nejednačine (gde je izraz strogo pozitivan) je:

x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 1) \cup (3, +\infty)

Konačno rešenje dobijamo u preseku ovog rešenja i domena nejednačine:

x \in \left( \left(-2, -\frac{1}{3}\right] \cup (1, +\infty) \right) \cap \left( (-\infty, -2) \cup (-1, 1) \cup (3, +\infty) \right)

Presek ova dva skupa daje konačno rešenje:

x \in \left(-1, -\frac{1}{3}\right] \cup (3, +\infty)

373.g