1889.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši nejednačinu:

x2−16x−1≤32\sqrt{\frac{x^2-16}{x-1}} \le \frac{3}{2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen nejednačine. Izraz pod korenom mora biti nenegativan, a imenilac različit od nule:

x2−16x−1≥0ix−1≠0\frac{x^2-16}{x-1} \ge 0 \quad \text{i} \quad x-1 \neq 0

Nalazimo nule brojioca i imenioca kako bismo odredili znak razlomka:

x2−16=0  ⟹  x1=−4,x2=4x−1=0  ⟹  x3=1x^2-16 = 0 \implies x_1 = -4, x_2 = 4 \\ x-1 = 0 \implies x_3 = 1
x∈(−∞,−4)x \in (-\infty, -4)
x∈(−4,1)x \in (-4, 1)
x∈(1,4)x \in (1, 4)
x∈(4,+∞)x \in (4, +\infty)
x2−16x^2-16
++
−-
−-
++
x−1x-1
−-
−-
++
++
x2−16x−1\frac{x^2-16}{x-1}
−-
++
−-
++

Na osnovu tabele, domen nejednačine je:

x∈[−4,1)∪[4,+∞)x \in [-4, 1) \cup [4, +\infty)

Pošto su obe strane nejednačine nenegativne na domenu, možemo ih kvadrirati:

x2−16x−1≤94\frac{x^2-16}{x-1} \le \frac{9}{4}

Prebacujemo sve na levu stranu:

x2−16x−1−94≤0\frac{x^2-16}{x-1} - \frac{9}{4} \le 0

Svodimo na zajednički imenilac:

4(x2−16)−9(x−1)4(x−1)≤0\frac{4(x^2-16) - 9(x-1)}{4(x-1)} \le 0

Sređujemo brojilac:

4x2−64−9x+94(x−1)≤0  ⟹  4x2−9x−554(x−1)≤0\frac{4x^2 - 64 - 9x + 9}{4(x-1)} \le 0 \implies \frac{4x^2 - 9x - 55}{4(x-1)} \le 0

Nalazimo nule kvadratne jednačine u brojiocu 4x2−9x−55=0: 4x^2 - 9x - 55 = 0 :

x1,2=9±(−9)2−4⋅4⋅(−55)2⋅4=9±81+8808=9±318x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-55)}}{2 \cdot 4} = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 880}}{8} = \frac{9 \pm 31}{8}

Rešenja brojioca su:

x1=5,x2=−114x_1 = 5, \quad x_2 = -\frac{11}{4}

Pravimo tabelu znakova za dobijenu racionalnu nejednačinu. Nule su −114, -\frac{11}{4} , 1 1 i 5. 5 .

4(x−5)(x+114)4(x−1)≤0\frac{4(x-5)(x+\frac{11}{4})}{4(x-1)} \le 0
x∈(−∞,−114)x \in (-\infty, -\frac{11}{4})
x∈(−114,1)x \in (-\frac{11}{4}, 1)
x∈(1,5)x \in (1, 5)
x∈(5,+∞)x \in (5, +\infty)
4x2−9x−554x^2-9x-55
++
−-
−-
++
4(x−1)4(x-1)
−-
−-
++
++
4x2−9x−554(x−1)\frac{4x^2-9x-55}{4(x-1)}
−-
++
−-
++

Rešenje ove nejednačine su intervali gde je razlomak manji ili jednak nuli:

x∈(−∞,−114]∪(1,5]x \in \left(-\infty, -\frac{11}{4}\right] \cup (1, 5]

Konačno rešenje dobijamo u preseku ovog rešenja i domena nejednačine:

x∈((−∞,−114]∪(1,5])∩([−4,1)∪[4,+∞))x \in \left( \left(-\infty, -\frac{11}{4}\right] \cup (1, 5] \right) \cap \left( [-4, 1) \cup [4, +\infty) \right)

Presek intervala daje konačno rešenje:

x∈[−4,−114]∪[4,5]x \in \left[-4, -\frac{11}{4}\right] \cup [4, 5]

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti