Iracionalna nejednačina sa razlomkom pod korenom

Prvo određujemo domen nejednačine. Izraz pod korenom mora biti nenegativan, a imenilac različit od nule:

\frac{x^2-16}{x-1} \ge 0 \quad \text{i} \quad x-1 \neq 0

Nalazimo nule brojioca i imenioca kako bismo odredili znak razlomka:

x^2-16 = 0 \implies x_1 = -4, x_2 = 4 \\ x-1 = 0 \implies x_3 = 1

x \in (-\infty, -4)

x \in (-4, 1)

x \in (1, 4)

x \in (4, +\infty)

x^2-16

+

-

-

+

x-1

-

-

+

+

\frac{x^2-16}{x-1}

-

+

-

+

Na osnovu tabele, domen nejednačine je:

x \in [-4, 1) \cup [4, +\infty)

Pošto su obe strane nejednačine nenegativne na domenu, možemo ih kvadrirati:

\frac{x^2-16}{x-1} \le \frac{9}{4}

Prebacujemo sve na levu stranu:

\frac{x^2-16}{x-1} - \frac{9}{4} \le 0

Svodimo na zajednički imenilac:

\frac{4(x^2-16) - 9(x-1)}{4(x-1)} \le 0

Sređujemo brojilac:

\frac{4x^2 - 64 - 9x + 9}{4(x-1)} \le 0 \implies \frac{4x^2 - 9x - 55}{4(x-1)} \le 0

Nalazimo nule kvadratne jednačine u brojiocu $4x^2 - 9x - 55 = 0 :$

x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-55)}}{2 \cdot 4} = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 880}}{8} = \frac{9 \pm 31}{8}

Rešenja brojioca su:

x_1 = 5, \quad x_2 = -\frac{11}{4}

Pravimo tabelu znakova za dobijenu racionalnu nejednačinu. Nule su $-\frac{11}{4} ,$ $1$ i $5 .$

\frac{4(x-5)(x+\frac{11}{4})}{4(x-1)} \le 0

x \in (-\infty, -\frac{11}{4})

x \in (-\frac{11}{4}, 1)

x \in (1, 5)

x \in (5, +\infty)

4x^2-9x-55

+

-

-

+

4(x-1)

-

-

+

+

\frac{4x^2-9x-55}{4(x-1)}

-

+

-

+

Rešenje ove nejednačine su intervali gde je razlomak manji ili jednak nuli:

x \in \left(-\infty, -\frac{11}{4}\right] \cup (1, 5]

Konačno rešenje dobijamo u preseku ovog rešenja i domena nejednačine:

x \in \left( \left(-\infty, -\frac{11}{4}\right] \cup (1, 5] \right) \cap \left( [-4, 1) \cup [4, +\infty) \right)

Presek intervala daje konačno rešenje:

x \in \left[-4, -\frac{11}{4}\right] \cup [4, 5]

372.v