1711.

Kvadratne nejednačine

TEKST ZADATKA

Odrediti x∈R x \in \mathbb{R} za koje je definisana funkcija:

y=x2−x−2x2−x−6y = \sqrt{\frac{x^2 - x - 2}{x^2 - x - 6}}
REŠENJE ZADATKA

Da bi funkcija bila definisana, potkorena veličina mora biti nenegativna, a imenilac različit od nule. Postavljamo uslov:

x2−x−2x2−x−6≥0\frac{x^2 - x - 2}{x^2 - x - 6} \ge 0

Prvo nalazimo nule kvadratnog polinoma u brojitelju x2−x−2=0: x^2 - x - 2 = 0 :

x1,2=1±1+82=1±32  ⟹  x1=−1,x2=2x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \implies x_1 = -1, x_2 = 2

Zatim nalazimo nule kvadratnog polinoma u imeniocu x2−x−6=0: x^2 - x - 6 = 0 :

x3,4=1±1+242=1±52  ⟹  x3=−2,x4=3x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \implies x_3 = -2, x_4 = 3

Faktorišemo brojitelj i imenilac kako bismo lakše ispitali znak:

(x+1)(x−2)(x+2)(x−3)≥0\frac{(x + 1)(x - 2)}{(x + 2)(x - 3)} \ge 0
x∈(−∞,−2)x \in (-\infty, -2)
x∈(−2,−1)x \in (-2, -1)
x∈(−1,2)x \in (-1, 2)
x∈(2,3)x \in (2, 3)
x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty)
x+2x + 2
− -
+ +
+ +
+ +
+ +
x+1x + 1
− -
− -
+ +
+ +
+ +
x−2x - 2
− -
− -
− -
+ +
+ +
x−3x - 3
− -
− -
− -
− -
+ +
P(x)P(x)
+ +
− -
+ +
− -
+ +

Na osnovu tabele i uslova da imenilac ne sme biti nula (x≠−2 x \neq -2 i x≠3 x \neq 3 ), dobijamo domen funkcije:

Df:x∈(−∞,−2)∪[−1,2]∪(3,+∞)D_f: x \in (-\infty, -2) \cup [-1, 2] \cup (3, +\infty)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti