1915.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti iracionalnu nejednačinu:

x+x−1>x+1\sqrt{x} + \sqrt{x-1} > \sqrt{x+1}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) nejednačine. Potkorene veličine moraju biti nenegativne:

{x≥0x−1≥0x+1≥0\begin{cases} x \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases}

Rešavanjem ovog sistema dobijamo:

{x≥0x≥1x≥−1\begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge 1 \\ x \ge -1 \end{cases}

Presek ovih uslova daje nam domen nejednačine:

x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty)

Pošto su za x≥1 x \ge 1 obe strane početne nejednačine nenegativne, možemo kvadrirati obe strane:

(x+x−1)2>(x+1)2(\sqrt{x} + \sqrt{x-1})^2 > (\sqrt{x+1})^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na levoj strani:

x+2xx−1+x−1>x+1x + 2\sqrt{x}\sqrt{x-1} + x - 1 > x + 1

Sređujemo izraz tako što prebacujemo sve članove bez korena na desnu stranu:

2x2−x>2−x2\sqrt{x^2-x} > 2 - x

Sada analiziramo znak desne strane. Razlikujemo dva slučaja u zavisnosti od znaka izraza 2−x. 2 - x .

**Prvi slučaj:** Neka je desna strana negativna, odnosno 2−x<0, 2 - x < 0 , što znači x>2. x > 2 . Kako je leva strana uvek nenegativna na domenu, nejednačina je uvek tačna za sve x x iz ovog intervala.

x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty)

**Drugi slučaj:** Neka je desna strana nenegativna, odnosno 2−x≥0, 2 - x \ge 0 , što znači x≤2. x \le 2 . Uzimajući u obzir domen, posmatramo interval x∈[1,2]. x \in [1, 2] .

Pošto su u drugom slučaju obe strane nenegativne, možemo ponovo kvadrirati nejednačinu:

(2x2−x)2>(2−x)2(2\sqrt{x^2-x})^2 > (2 - x)^2

Kvadriramo i sređujemo izraz:

4(x2−x)>4−4x+x24(x^2 - x) > 4 - 4x + x^2

Prebacujemo sve članove na levu stranu:

3x2>43x^2 > 4

Rešavamo dobijenu nejednačinu. Deljenjem sa 3 dobijamo x2>43. x^2 > \frac{4}{3} . S obzirom da na domenu važi x≥1, x \ge 1 , korenujemo obe strane i uzimamo samo pozitivno rešenje:

x>23=233x > \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}

Tražimo presek ovog rešenja sa uslovom drugog slučaja x∈[1,2]: x \in [1, 2] :

x∈(233,2]x \in \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}, 2\right]

Konačno rešenje dobijamo unijom rešenja iz prvog i drugog slučaja:

x∈(233,2]∪(2,+∞)=(233,+∞)x \in \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}, 2\right] \cup (2, +\infty) = \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}, +\infty\right)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti