1914. Iracionalne jednačine i nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Da bi kvadratni koren bio definisan, izraz pod korenom mora biti veći ili jednak nuli. Postavljamo uslov definisanosti (domen):

x^2 - x - 1 \ge 0

Računamo nule kvadratne funkcije $x^2 - x - 1 = 0 :$

x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

Pošto je koeficijent uz $x^2$ pozitivan, parabola je okrenuta nagore, pa je izraz nenegativan van intervala nula. Domen nejednačine je:

x \in \left(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}, +\infty\right)

Kako su obe strane polazne nejednačine nenegativne (leva strana je koren, desna je pozitivna konstanta), možemo kvadrirati obe strane nejednačine:

(\sqrt{x^2-x-1})^2 < 1^2

Sređujemo dobijenu nejednačinu prebacivanjem svih članova na levu stranu:

x^2 - x - 1 < 1 \implies x^2 - x - 2 < 0

Faktorišemo kvadratni trinom računanjem njegovih nula ( $x_1 = 2 ,$ $x_2 = -1$ ):

(x+1)(x-2) < 0

Analiziramo znak faktora pomoću tabele znakova:

x \in (-\infty, -1)

x \in (-1, 2)

x \in (2, +\infty)

x+1

-

+

+

x-2

-

-

+

(x+1)(x-2)

+

-

+

Na osnovu tabele, izraz je strogo manji od nule kada je $x$ u intervalu:

x \in (-1, 2)

Konačno rešenje dobijamo u preseku rešenja dobijenog kvadriranjem i uslova definisanosti (domena):

x \in (-1, 2) \cap \left( \left(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}, +\infty\right) \right)

Određujemo približne vrednosti granica radi lakšeg nalaženja preseka: $\frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0.618$ i $\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618 .$ Presek ova dva skupa je:

x \in \left(-1, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}, 2\right)

375.b