Nejednačina sa tri korena: x, x − 1 i x + 1

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) nejednačine. Potkorene veličine moraju biti nenegativne:

\begin{cases} x \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases}

Rešavanjem ovog sistema dobijamo:

\begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge 1 \\ x \ge -1 \end{cases}

Presek ovih uslova daje nam domen nejednačine:

x \in [1, +\infty)

Pošto su za $x \ge 1$ obe strane početne nejednačine nenegativne, možemo kvadrirati obe strane:

(\sqrt{x} + \sqrt{x-1})^2 > (\sqrt{x+1})^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na levoj strani:

x + 2\sqrt{x}\sqrt{x-1} + x - 1 > x + 1

Sređujemo izraz tako što prebacujemo sve članove bez korena na desnu stranu:

2\sqrt{x^2-x} > 2 - x

Sada analiziramo znak desne strane. Razlikujemo dva slučaja u zavisnosti od znaka izraza $2 - x .$

**Prvi slučaj:** Neka je desna strana negativna, odnosno $2 - x < 0 ,$ što znači $x > 2 .$ Kako je leva strana uvek nenegativna na domenu, nejednačina je uvek tačna za sve $x$ iz ovog intervala.

x \in (2, +\infty)

**Drugi slučaj:** Neka je desna strana nenegativna, odnosno $2 - x \ge 0 ,$ što znači $x \le 2 .$ Uzimajući u obzir domen, posmatramo interval $x \in [1, 2] .$

Pošto su u drugom slučaju obe strane nenegativne, možemo ponovo kvadrirati nejednačinu:

(2\sqrt{x^2-x})^2 > (2 - x)^2

Kvadriramo i sređujemo izraz:

4(x^2 - x) > 4 - 4x + x^2

Prebacujemo sve članove na levu stranu:

3x^2 > 4

Rešavamo dobijenu nejednačinu. Deljenjem sa 3 dobijamo $x^2 > \frac{4}{3} .$ S obzirom da na domenu važi $x \ge 1 ,$ korenujemo obe strane i uzimamo samo pozitivno rešenje:

x > \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}

Tražimo presek ovog rešenja sa uslovom drugog slučaja $x \in [1, 2] :$

x \in \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}, 2\right]

Konačno rešenje dobijamo unijom rešenja iz prvog i drugog slučaja:

x \in \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}, 2\right] \cup (2, +\infty) = \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}, +\infty\right)

Započni učenje

Privatni časovi

374.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci