Iracionalna jednačina: 3 koren iz x na kvadrat - 3x

Da bi kvadratni koren bio definisan, potkorena veličina mora biti nenegativna. Takođe, pošto je leva strana jednačine nenegativna (koren je uvek veći ili jednak nuli), i desna strana mora biti nenegativna. Postavljamo uslove:

\begin{cases} x^2 - 3x \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu $x^2 - 3x \ge 0 :$

x(x - 3) \ge 0 \implies x \in (-\infty, 0] \cup [3, +\infty)

Rešavamo drugu nejednačinu $x + 2 \ge 0 :$

x \ge -2 \implies x \in [-2, +\infty)

Pronalazimo presek ova dva uslova kako bismo dobili domen rešenja:

x \in [-2, 0] \cup [3, +\infty)

Sada kvadriramo obe strane polazne jednačine:

(3\sqrt{x^2-3x})^2 = (x+2)^2

Primenjujemo kvadrat na obe strane:

9(x^2 - 3x) = x^2 + 4x + 4

Množimo izraz na levoj strani:

9x^2 - 27x = x^2 + 4x + 4

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo formirali kvadratnu jednačinu:

8x^2 - 31x - 4 = 0

Računamo diskriminantu kvadratne jednačine $D = b^2 - 4ac :$

D = (-31)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-4) = 961 + 128 = 1089

Nalazimo rešenja kvadratne jednačine koristeći formulu $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} :$

x_{1,2} = \frac{31 \pm \sqrt{1089}}{16} = \frac{31 \pm 33}{16}

Računamo prvo rešenje $x_1 :$

x_1 = \frac{31 + 33}{16} = \frac{64}{16} = 4

Računamo drugo rešenje $x_2 :$

x_2 = \frac{31 - 33}{16} = \frac{-2}{16} = -\frac{1}{8}

Proveravamo da li dobijena rešenja pripadaju domenu $x \in [-2, 0] \cup [3, +\infty) :$

4 \in [3, +\infty) \quad \text{i} \quad -\frac{1}{8} \in [-2, 0]

Oba rešenja zadovoljavaju uslove, pa je konačan skup rešenja:

x \in \left\{-\frac{1}{8}, 4\right\}

Započni učenje

Privatni časovi

364.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci