1870.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

6−x−x2=x+1\sqrt{6-x-x^2} = x+1
REŠENJE ZADATKA

Da bi iracionalna jednačina oblika f(x)=g(x) \sqrt{f(x)} = g(x) imala rešenja, moraju biti ispunjeni uslovi da je potkorena veličina nenegativna i da je desna strana jednačine nenegativna:

{6−x−x2≥0x+1≥0\begin{cases} 6-x-x^2 \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu. Množenjem sa −1 -1 menjamo znak nejednakosti:

x2+x−6≤0x^2+x-6 \le 0

Faktorišemo kvadratni trinom kako bismo odredili znak:

(x+3)(x−2)≤0(x+3)(x-2) \le 0
x∈(−∞,−3)x \in (-\infty, -3)
x∈(−3,2)x \in (-3, 2)
x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty)
x+3x+3
++
++
++
x−2x-2
++
++
++
(x+3)(x−2)(x+3)(x-2)
++
++
++

Na osnovu tabele, rešenje prve nejednačine (gde je izraz manji ili jednak nuli) je:

x∈[−3,2]x \in [-3, 2]

Rešavamo drugu nejednačinu:

x≥−1  ⟹  x∈[−1,+∞)x \ge -1 \implies x \in [-1, +\infty)

Presek uslova x∈[−3,2] x \in [-3, 2] i x∈[−1,+∞) x \in [-1, +\infty) daje konačan domen u kome tražimo rešenje:

x∈[−1,2]x \in [-1, 2]

Sada kvadriramo obe strane polazne jednačine:

6−x−x2=(x+1)26-x-x^2 = (x+1)^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na desnoj strani:

6−x−x2=x2+2x+16-x-x^2 = x^2+2x+1

Prebacujemo sve članove na desnu stranu i sređujemo jednačinu:

2x2+3x−5=02x^2+3x-5 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine pomoću formule x1,2=−b±b2−4ac2a: x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} :

x1,2=−3±32−4⋅2⋅(−5)2⋅2x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)}}{2 \cdot 2}

Računamo vrednost pod korenom:

x1,2=−3±9+404=−3±74x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} = \frac{-3 \pm 7}{4}

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x1=1,x2=−52x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{5}{2}

Proveravamo da li dobijena rešenja pripadaju domenu x∈[−1,2]: x \in [-1, 2] :

x1=1∈[−1,2](prihvata se)x2=−52∉[−1,2](odbacuje se)\begin{aligned} x_1 &= 1 \in [-1, 2] \quad (\text{prihvata se}) \\ x_2 &= -\frac{5}{2} \notin [-1, 2] \quad (\text{odbacuje se}) \end{aligned}

Konačno rešenje jednačine je:

x=1x = 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti