1883. Iracionalne jednačine i nejednačine

Prvo, određujemo domen jednačine. Pošto se $x$ nalazi u imeniocu, mora važiti:

x \neq 0

Izvlačimo zajednički faktor $\sqrt[5]{3+x}$ na levoj strani jednačine:

\sqrt[5]{3+x} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{x} \right) = \frac{64}{3}\sqrt[5]{x}

Sabiramo razlomke u zagradi:

\sqrt[5]{3+x} \left( \frac{x+3}{3x} \right) = \frac{64}{3}\sqrt[5]{x}

Množimo obe strane jednačine sa 3 kako bismo se oslobodili imenioca:

\sqrt[5]{3+x} \frac{x+3}{x} = 64\sqrt[5]{x}

Zapisujemo koren kao stepen sa racionalnim izložiocem i množimo sa $x+3 :$

\frac{(x+3)^{\frac{1}{5}} \cdot (x+3)}{x} = 64 x^{\frac{1}{5}}

Sabiramo izložioce u brojiocu ( $\frac{1}{5} + 1 = \frac{6}{5}$ ):

\frac{(x+3)^{\frac{6}{5}}}{x} = 64 x^{\frac{1}{5}}

Množimo obe strane jednačine sa $x$ (što je dozvoljeno jer je $x \neq 0$ ):

(x+3)^{\frac{6}{5}} = 64 x^{\frac{6}{5}}

Stepenujemo obe strane jednačine na 5:

(x+3)^6 = 64^5 x^6

Zapisujemo $64^5$ kao stepen broja 2. Znamo da je $64 = 2^6 ,$ pa je $64^5 = (2^6)^5 = 2^{30} = (2^5)^6 = 32^6 :$

(x+3)^6 = (32x)^6

Korenujemo obe strane jednačine šestim korenom. Pošto je izložilac paran, moramo koristiti apsolutnu vrednost:

|x+3| = |32x|

Definišemo apsolutnu vrednost za izraz $x+3 :$

|x+3| = \begin{cases} x+3, & \text{za } x+3 \ge 0 \\ -(x+3), & \text{za } x+3 < 0 \end{cases}

Definišemo apsolutnu vrednost za izraz $32x :$

|32x| = \begin{cases} 32x, & \text{za } 32x \ge 0 \\ -32x, & \text{za } 32x < 0 \end{cases}

Na osnovu osobina apsolutne vrednosti, jednačina $|A| = |B|$ je ekvivalentna sa $A = B$ ili $A = -B .$ Zato imamo dva slučaja:

x+3 = 32x \quad \text{ili} \quad x+3 = -32x

Rešavamo prvi slučaj:

31x = 3 \implies x = \frac{3}{31}

Rešavamo drugi slučaj:

33x = -3 \implies x = -\frac{3}{33} = -\frac{1}{11}

Oba rešenja zadovoljavaju uslov $x \neq 0 ,$ pa su konačna rešenja:

x \in \left\{ -\frac{1}{11}, \frac{3}{31} \right\}

1883.Iracionalne jednačine i nejednačine