1528.

Jednačine koje se svode na kvadratne

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu (simetrična jednačina):

x5−2x4+x3+x2−2x+1=0x^5 - 2x^4 + x^3 + x^2 - 2x + 1 = 0
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da je ovo simetrična jednačina neparnog stepena. Kod ovakvih jednačina jedno rešenje je uvek x=−1. x = -1 . Proveravamo zamenom:

(−1)5−2(−1)4+(−1)3+(−1)2−2(−1)+1=−1−2−1+1+2+1=0(-1)^5 - 2(-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) + 1 = -1 - 2 - 1 + 1 + 2 + 1 = 0

Pošto je x=−1 x = -1 koren, delimo polinom sa (x+1) (x + 1) koristeći Hornerovu šemu ili grupisanje članova kako bismo dobili simetričnu jednačinu četvrtog stepena.

(x+1)(x4−3x3+4x2−3x+1)=0(x + 1)(x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 3x + 1) = 0

Sada rešavamo povratnu (recipročnu) jednačinu četvrtog stepena unutar zagrade:

x4−3x3+4x2−3x+1=0x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 3x + 1 = 0

Delimo celu jednačinu sa x2 x^2 (pošto x=0 x=0 nije rešenje) i grupišemo odgovarajuće članove:

(x2+1x2)−3(x+1x)+4=0\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 3\left(x + \frac{1}{x}\right) + 4 = 0

Uvodimo smenu t=x+1x. t = x + \frac{1}{x} . Tada je t2=x2+2+1x2, t^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} , odnosno x2+1x2=t2−2. x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 .

(t2−2)−3t+4=0  ⟹  t2−3t+2=0(t^2 - 2) - 3t + 4 = 0 \implies t^2 - 3t + 2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t: t :

t1,2=3±9−82  ⟹  t1=2,t2=1t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} \implies t_1 = 2, t_2 = 1

Vraćamo smenu za t1=2: t_1 = 2 :

x+1x=2  ⟹  x2−2x+1=0  ⟹  (x−1)2=0x + \frac{1}{x} = 2 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0

Odavde dobijamo dvostruko rešenje:

x2=1,x3=1x_2 = 1, x_3 = 1

Vraćamo smenu za t2=1: t_2 = 1 :

x+1x=1  ⟹  x2−x+1=0x + \frac{1}{x} = 1 \implies x^2 - x + 1 = 0

Računamo rešenja ove kvadratne jednačine u skupu konjugovano-kompleksnih brojeva:

x4,5=1±1−42=1±i32x_{4,5} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}

Konačan skup rešenja polazne jednačine je:

x∈{−1,1,1+i32,1−i32}x \in \left\{ -1, 1, \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{3}}{2} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti