Bikvadratna jednačina sa parametrima a i b

Uvodimo smenu $t = x^2 .$ S obzirom na to da je jednačina bikvadratna, zamenom dobijamo kvadratnu jednačinu po promenljivoj $t :$

a^2b^2t^2 - (a^4 + b^4)t + a^2b^2 = 0

Identifikujemo koeficijente kvadratne jednačine $At^2 + Bt + C = 0 :$

A = a^2b^2, \quad B = -(a^4 + b^4), \quad C = a^2b^2

Računamo diskriminantu jednačine $D = B^2 - 4AC :$

D = [-(a^4 + b^4)]^2 - 4(a^2b^2)(a^2b^2)

Sređujemo izraz za diskriminantu koristeći kvadrat binoma:

D = a^8 + 2a^4b^4 + b^8 - 4a^4b^4 = a^8 - 2a^4b^4 + b^8 = (a^4 - b^4)^2

Primenjujemo formulu za rešenja kvadratne jednačine $t_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} :$

t_{1,2} = \frac{a^4 + b^4 \pm \sqrt{(a^4 - b^4)^2}}{2a^2b^2}

Računamo konkretne vrednosti za $t_1$ i $t_2 :$

t_1 = \frac{a^4 + b^4 + a^4 - b^4}{2a^2b^2} = \frac{2a^4}{2a^2b^2} = \frac{a^2}{b^2}, \quad t_2 = \frac{a^4 + b^4 - (a^4 - b^4)}{2a^2b^2} = \frac{2b^4}{2a^2b^2} = \frac{b^2}{a^2}

Vraćamo smenu $x^2 = t$ kako bismo pronašli rešenja po $x .$ Za prvu vrednost $t_1 :$

x^2 = \frac{a^2}{b^2} \implies x_{1,2} = \pm \frac{a}{b}

Za drugu vrednost $t_2 :$

x^2 = \frac{b^2}{a^2} \implies x_{3,4} = \pm \frac{b}{a}

Konačna rešenja jednačine su:

x \in \left\{ \frac{a}{b}, -\frac{a}{b}, \frac{b}{a}, -\frac{b}{a} \right\}

239.g