Ugnežđeni koreni i apsolutne vrednosti

Prvo određujemo domen jednačine. Izraz pod unutrašnjim korenom mora biti nenegativan.

x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2

Uvodimo smenu $t = \sqrt{x+2} ,$ pri čemu je $t \ge 0 .$ Odatle izražavamo $x .$

x = t^2 - 2

Zamenjujemo $x$ u prvom izrazu pod korenom i uprošćavamo.

x + 3 - 2\sqrt{x+2} = t^2 - 2 + 3 - 2t = t^2 - 2t + 1 = (t-1)^2

Zamenjujemo $x$ u drugom izrazu pod korenom i uprošćavamo.

x + 27 - 10\sqrt{x+2} = t^2 - 2 + 27 - 10t = t^2 - 10t + 25 = (t-5)^2

Vraćamo dobijene kvadrate binoma u početnu jednačinu.

\sqrt{(t-1)^2} + \sqrt{(t-5)^2} = 4

Koristimo osobinu da je $\sqrt{a^2} = |a| .$

|t-1| + |t-5| = 4

Definišemo prvu apsolutnu vrednost.

|t-1| = \begin{cases} t-1, & \text{za } t-1 \ge 0 \\ -(t-1), & \text{za } t-1 < 0 \end{cases}

Definišemo drugu apsolutnu vrednost.

|t-5| = \begin{cases} t-5, & \text{za } t-5 \ge 0 \\ -(t-5), & \text{za } t-5 < 0 \end{cases}

Kritične tačke za apsolutne vrednosti su $t=1$ i $t=5 .$ Analiziramo znak izraza unutar apsolutnih vrednosti na intervalima.

t \in (-\infty, 1)

t \in (1, 5)

t \in (5, +\infty)

t-1

+

+

+

t-5

+

+

+

S obzirom na uslov $t \ge 0 ,$ razmatramo prvi slučaj kada je $0 \le t < 1 .$ Tada su oba izraza pod apsolutnom vrednošću negativna.

-(t-1) - (t-5) = 4 \implies -2t + 6 = 4 \implies 2t = 2 \implies t = 1

Rešenje $t=1$ ne pripada intervalu $[0, 1) ,$ pa u ovom slučaju nema rešenja.

t \notin [0, 1)

Razmatramo drugi slučaj kada je $1 \le t \le 5 .$ Prvi izraz je nenegativan, a drugi je negativan (ili nula).

(t-1) - (t-5) = 4 \implies t - 1 - t + 5 = 4 \implies 4 = 4

Dobili smo tačnu jednakost, što znači da svaki broj iz ovog intervala predstavlja rešenje.

t \in [1, 5]

Razmatramo treći slučaj kada je $t > 5 .$ Oba izraza pod apsolutnom vrednošću su pozitivna.

(t-1) + (t-5) = 4 \implies 2t - 6 = 4 \implies 2t = 10 \implies t = 5

Rešenje $t=5$ ne pripada intervalu $(5, +\infty) ,$ pa ni u ovom slučaju nema novih rešenja.

t \notin (5, +\infty)

Ukupno rešenje za $t$ je unija rešenja iz svih slučajeva.

t \in [1, 5]

Vraćamo smenu $t = \sqrt{x+2} .$

1 \le \sqrt{x+2} \le 5

Kvadriramo nejednakost, jer su sve strane nenegativne.

1 \le x+2 \le 25

Oduzimamo 2 od svih delova nejednakosti da bismo dobili konačno rešenje za $x .$

-1 \le x \le 23

Proveravamo da li dobijeno rešenje zadovoljava početni uslov domena $x \ge -2 .$ Pošto je uslov ispunjen, zapisujemo konačan skup rešenja.

x \in [-1, 23]

376