1912.

Iracionalne jednačine i nejednačine

Prvo, određujemo domen nejednačine. Izraz pod korenom mora biti nenegativan:

Nalazimo korene kvadratne jednačine $3x^2+5x-6 = 0 :$

Pošto je koeficijent uz $x^2$ pozitivan, kvadratni trinom je nenegativan van intervala između korena. Domen je:

Sada transformišemo polaznu nejednačinu tako što prebacujemo sve članove na levu stranu:

Izvlačimo $x$ ispred zagrade kako bismo faktorisali izraz:

**Slučaj 1:** Neka je $x > 0 .$ Pošto je $\frac{-5+\sqrt{97}}{6} \approx 0.81 > 0 ,$ presek uslova $x > 0$ sa domenom daje:

Rešavamo drugu nejednačinu za ovaj slučaj:

Pošto je $x > 0 ,$ desna strana $x+2$ je pozitivna, pa možemo kvadrirati obe strane nejednačine:

Kvadriramo i sređujemo izraz:

Prebacujemo sve na levu stranu:

Nalazimo korene jednačine $2x^2+x-10 = 0 :$

Koreni su $x_1 = -\frac{5}{2}$ i $x_2 = 2 .$ Rešenje ove kvadratne nejednačine je:

Tražimo presek ovog rešenja sa uslovom domena za prvi slučaj $x \in \left[\frac{-5+\sqrt{97}}{6}, +\infty\right) :$

**Slučaj 2:** Neka je $x < 0 .$ Presek uslova $x < 0$ sa domenom daje:

Rešavamo drugu nejednačinu za ovaj slučaj:

Nenegativan broj je uvek veći od negativnog broja, pa je nejednačina tačna za sve $x$ iz ovog intervala. Dakle, rešenje drugog slučaja je ceo interval:

Konačno rešenje je unija rešenja iz prvog i drugog slučaja: