1908.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

x10−x2>x2−6x\sqrt{10-x^2} > x^2-6
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen nejednačine. Izraz pod kvadratnim korenom mora biti nenegativan:

10−x2≥0  ⟹  x2≤10  ⟹  x∈[−10,10]10 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 10 \implies x \in [-\sqrt{10}, \sqrt{10}]

Za rešavanje ove nejednačine, razlikovaćemo dva slučaja u zavisnosti od znaka desne strane, odnosno izraza x2−6. x^2 - 6 .

Slučaj 1: Desna strana je negativna. Uzimajući u obzir domen, dobijamo uslov za prvi slučaj:

x2−6<0  ⟹  x2<6  ⟹  x∈(−6,6)x∈(−6,6)∩[−10,10]  ⟹  x∈(−6,6)\begin{aligned} x^2 - 6 &< 0 \implies x^2 < 6 \implies x \in (-\sqrt{6}, \sqrt{6}) \\ x &\in (-\sqrt{6}, \sqrt{6}) \cap [-\sqrt{10}, \sqrt{10}] \implies x \in (-\sqrt{6}, \sqrt{6}) \end{aligned}

U ovom slučaju, desna strana je negativna. Ako je leva strana nenegativna, tj. x≥0, x \ge 0 , nejednačina je automatski tačna jer je nenegativan broj uvek veći od negativnog. Presekom sa uslovom slučaja dobijamo prvi deo rešenja:

x∈[0,6)x \in [0, \sqrt{6})

Ako je leva strana negativna, tj. x<0, x < 0 , tada su obe strane negativne. Množenjem nejednačine sa −1 -1 znak nejednakosti se menja, a obe strane postaju pozitivne:

−x10−x2<6−x2-x\sqrt{10-x^2} < 6 - x^2

Sada možemo kvadrirati nejednačinu:

(−x10−x2)2<(6−x2)2x2(10−x2)<36−12x2+x410x2−x4<36−12x2+x42x4−22x2+36>0x4−11x2+18>0\begin{aligned} (-x\sqrt{10-x^2})^2 &< (6 - x^2)^2 \\ x^2(10 - x^2) &< 36 - 12x^2 + x^4 \\ 10x^2 - x^4 &< 36 - 12x^2 + x^4 \\ 2x^4 - 22x^2 + 36 &> 0 \\ x^4 - 11x^2 + 18 &> 0 \end{aligned}

Faktorizacijom polinoma (npr. uvođenjem smene t=x2 t = x^2 ) dobijamo:

(x2−2)(x2−9)>0(x^2 - 2)(x^2 - 9) > 0

Pošto posmatramo podslučaj gde je x∈(−6,0), x \in (-\sqrt{6}, 0) , važi da je x2<6, x^2 < 6 , pa je izraz x2−9 x^2 - 9 sigurno negativan. Da bi proizvod bio pozitivan, mora važiti:

x2−2<0  ⟹  x∈(−2,2)x∈(−2,2)∩(−6,0)  ⟹  x∈(−2,0)\begin{aligned} x^2 - 2 &< 0 \implies x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \\ x &\in (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \cap (-\sqrt{6}, 0) \implies x \in (-\sqrt{2}, 0) \end{aligned}

Ukupno rešenje za prvi slučaj je unija rešenja iz oba podslučaja:

x∈(−2,0)∪[0,6)=(−2,6)x \in (-\sqrt{2}, 0) \cup [0, \sqrt{6}) = (-\sqrt{2}, \sqrt{6})

Slučaj 2: Desna strana je nenegativna, tj. x2−6≥0. x^2 - 6 \ge 0 . Uzimajući u obzir domen x∈[−10,10], x \in [-\sqrt{10}, \sqrt{10}] , dobijamo uslov za ovaj slučaj:

x2≥6  ⟹  x∈(−∞,−6]∪[6,+∞)x∈[−10,−6]∪[6,10]\begin{aligned} x^2 &\ge 6 \implies x \in (-\infty, -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, +\infty) \\ x &\in [-\sqrt{10}, -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, \sqrt{10}] \end{aligned}

U ovom slučaju, desna strana je nenegativna. Da bi leva strana bila strogo veća od desne, mora biti pozitivna, što znači da mora važiti x>0. x > 0 . Zato odbacujemo negativni interval i posmatramo samo:

x∈[6,10]x \in [\sqrt{6}, \sqrt{10}]

Sada su obe strane nenegativne, pa možemo kvadrirati početnu nejednačinu:

(x10−x2)2>(x2−6)2x2(10−x2)>x4−12x2+3610x2−x4>x4−12x2+362x4−22x2+36<0x4−11x2+18<0(x2−2)(x2−9)<0\begin{aligned} (x\sqrt{10-x^2})^2 &> (x^2 - 6)^2 \\ x^2(10 - x^2) &> x^4 - 12x^2 + 36 \\ 10x^2 - x^4 &> x^4 - 12x^2 + 36 \\ 2x^4 - 22x^2 + 36 &< 0 \\ x^4 - 11x^2 + 18 &< 0 \\ (x^2 - 2)(x^2 - 9) &< 0 \end{aligned}

Pošto je x∈[6,10], x \in [\sqrt{6}, \sqrt{10}] , važi x2≥6, x^2 \ge 6 , pa je izraz x2−2 x^2 - 2 sigurno pozitivan. Da bi proizvod bio negativan, mora važiti:

x2−9<0  ⟹  x∈(−3,3)x∈(−3,3)∩[6,10]  ⟹  x∈[6,3)\begin{aligned} x^2 - 9 &< 0 \implies x \in (-3, 3) \\ x &\in (-3, 3) \cap [\sqrt{6}, \sqrt{10}] \implies x \in [\sqrt{6}, 3) \end{aligned}

Konačno rešenje nejednačine je unija rešenja iz prvog i drugog slučaja:

x∈(−2,6)∪[6,3)=(−2,3)x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{6}) \cup [\sqrt{6}, 3) = (-\sqrt{2}, 3)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti