Nejednačina x puta koren iz 10 − x kvadrat

Prvo određujemo domen nejednačine. Izraz pod kvadratnim korenom mora biti nenegativan:

10 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 10 \implies x \in [-\sqrt{10}, \sqrt{10}]

Za rešavanje ove nejednačine, razlikovaćemo dva slučaja u zavisnosti od znaka desne strane, odnosno izraza $x^2 - 6 .$

Slučaj 1: Desna strana je negativna. Uzimajući u obzir domen, dobijamo uslov za prvi slučaj:

\begin{aligned} x^2 - 6 &< 0 \implies x^2 < 6 \implies x \in (-\sqrt{6}, \sqrt{6}) \\ x &\in (-\sqrt{6}, \sqrt{6}) \cap [-\sqrt{10}, \sqrt{10}] \implies x \in (-\sqrt{6}, \sqrt{6}) \end{aligned}

U ovom slučaju, desna strana je negativna. Ako je leva strana nenegativna, tj. $x \ge 0 ,$ nejednačina je automatski tačna jer je nenegativan broj uvek veći od negativnog. Presekom sa uslovom slučaja dobijamo prvi deo rešenja:

x \in [0, \sqrt{6})

Ako je leva strana negativna, tj. $x < 0 ,$ tada su obe strane negativne. Množenjem nejednačine sa $-1$ znak nejednakosti se menja, a obe strane postaju pozitivne:

-x\sqrt{10-x^2} < 6 - x^2

Sada možemo kvadrirati nejednačinu:

\begin{aligned} (-x\sqrt{10-x^2})^2 &< (6 - x^2)^2 \\ x^2(10 - x^2) &< 36 - 12x^2 + x^4 \\ 10x^2 - x^4 &< 36 - 12x^2 + x^4 \\ 2x^4 - 22x^2 + 36 &> 0 \\ x^4 - 11x^2 + 18 &> 0 \end{aligned}

Faktorizacijom polinoma (npr. uvođenjem smene $t = x^2$ ) dobijamo:

(x^2 - 2)(x^2 - 9) > 0

Pošto posmatramo podslučaj gde je $x \in (-\sqrt{6}, 0) ,$ važi da je $x^2 < 6 ,$ pa je izraz $x^2 - 9$ sigurno negativan. Da bi proizvod bio pozitivan, mora važiti:

\begin{aligned} x^2 - 2 &< 0 \implies x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \\ x &\in (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \cap (-\sqrt{6}, 0) \implies x \in (-\sqrt{2}, 0) \end{aligned}

Ukupno rešenje za prvi slučaj je unija rešenja iz oba podslučaja:

x \in (-\sqrt{2}, 0) \cup [0, \sqrt{6}) = (-\sqrt{2}, \sqrt{6})

Slučaj 2: Desna strana je nenegativna, tj. $x^2 - 6 \ge 0 .$ Uzimajući u obzir domen $x \in [-\sqrt{10}, \sqrt{10}] ,$ dobijamo uslov za ovaj slučaj:

\begin{aligned} x^2 &\ge 6 \implies x \in (-\infty, -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, +\infty) \\ x &\in [-\sqrt{10}, -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, \sqrt{10}] \end{aligned}

U ovom slučaju, desna strana je nenegativna. Da bi leva strana bila strogo veća od desne, mora biti pozitivna, što znači da mora važiti $x > 0 .$ Zato odbacujemo negativni interval i posmatramo samo:

x \in [\sqrt{6}, \sqrt{10}]

Sada su obe strane nenegativne, pa možemo kvadrirati početnu nejednačinu:

\begin{aligned} (x\sqrt{10-x^2})^2 &> (x^2 - 6)^2 \\ x^2(10 - x^2) &> x^4 - 12x^2 + 36 \\ 10x^2 - x^4 &> x^4 - 12x^2 + 36 \\ 2x^4 - 22x^2 + 36 &< 0 \\ x^4 - 11x^2 + 18 &< 0 \\ (x^2 - 2)(x^2 - 9) &< 0 \end{aligned}

Pošto je $x \in [\sqrt{6}, \sqrt{10}] ,$ važi $x^2 \ge 6 ,$ pa je izraz $x^2 - 2$ sigurno pozitivan. Da bi proizvod bio negativan, mora važiti:

\begin{aligned} x^2 - 9 &< 0 \implies x \in (-3, 3) \\ x &\in (-3, 3) \cap [\sqrt{6}, \sqrt{10}] \implies x \in [\sqrt{6}, 3) \end{aligned}

Konačno rešenje nejednačine je unija rešenja iz prvog i drugog slučaja:

x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{6}) \cup [\sqrt{6}, 3) = (-\sqrt{2}, 3)

Započni učenje

Privatni časovi

375.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci