1907.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

3x+1x2+x−2<1\sqrt{\frac{3x+1}{x^2+x-2}} < 1
REŠENJE ZADATKA

Da bi kvadratni koren bio definisan, izraz pod njim mora biti nenegativan, a imenilac različit od nule:

3x+1x2+x−2≥0\frac{3x+1}{x^2+x-2} \ge 0

Rastavljamo imenilac na činioce rešavanjem kvadratne jednačine x2+x−2=0: x^2+x-2=0 :

x1,2=−1±1−4⋅1⋅(−2)2  ⟹  x1=−2,x2=1x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} \implies x_1 = -2, x_2 = 1

Zapisujemo uslov definisanosti u faktorisanoj formi:

3x+1(x+2)(x−1)≥0\frac{3x+1}{(x+2)(x-1)} \ge 0

Formiramo tabelu znakova za određivanje domena. Nule izraza su x=−2, x = -2 , x=−13 x = -\frac{1}{3} i x=1. x = 1 .

x∈(−∞,−2)x \in (-\infty, -2)
x∈(−2,−13)x \in (-2, -\frac{1}{3})
x∈(−13,1)x \in (-\frac{1}{3}, 1)
x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
3x+13x+1
−-
−-
++
++
x+2x+2
−-
++
++
++
x−1x-1
−-
−-
−-
++
Izraz\text{Izraz}
−-
++
−-
++

Na osnovu tabele, domen nejednačine (uzimajući u obzir da imenilac ne sme biti nula) je:

x∈(−2,−13]∪(1,+∞)x \in \left(-2, -\frac{1}{3}\right] \cup (1, +\infty)

Pošto su obe strane polazne nejednačine nenegativne (koren je uvek veći ili jednak nuli), možemo ih kvadrirati:

3x+1x2+x−2<1\frac{3x+1}{x^2+x-2} < 1

Prebacujemo 1 na levu stranu i svodimo na zajednički imenilac:

3x+1−(x2+x−2)x2+x−2<0\frac{3x+1 - (x^2+x-2)}{x^2+x-2} < 0

Sređujemo brojilac:

−x2+2x+3x2+x−2<0\frac{-x^2+2x+3}{x^2+x-2} < 0

Množimo nejednačinu sa -1, pri čemu se menja znak nejednakosti:

x2−2x−3x2+x−2>0\frac{x^2-2x-3}{x^2+x-2} > 0

Rastavljamo brojilac na činioce. Nule polinoma x2−2x−3 x^2-2x-3 su x=−1 x = -1 i x=3: x = 3 :

(x+1)(x−3)(x+2)(x−1)>0\frac{(x+1)(x-3)}{(x+2)(x-1)} > 0

Formiramo tabelu znakova za rešavanje ove racionalne nejednačine. Nule su −2,−1,1,3. -2, -1, 1, 3 .

x∈(−∞,−2)x \in (-\infty, -2)
x∈(−2,−1)x \in (-2, -1)
x∈(−1,1)x \in (-1, 1)
x∈(1,3)x \in (1, 3)
x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty)
x+1x+1
−-
−-
++
++
++
x−3x-3
−-
−-
−-
−-
++
x+2x+2
−-
++
++
++
++
x−1x-1
−-
−-
−-
++
++
Izraz\text{Izraz}
++
−-
++
−-
++

Rešenje racionalne nejednačine (gde je izraz strogo pozitivan) je:

x∈(−∞,−2)∪(−1,1)∪(3,+∞)x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 1) \cup (3, +\infty)

Konačno rešenje dobijamo u preseku ovog rešenja i domena nejednačine:

x∈((−2,−13]∪(1,+∞))∩((−∞,−2)∪(−1,1)∪(3,+∞))x \in \left( \left(-2, -\frac{1}{3}\right] \cup (1, +\infty) \right) \cap \left( (-\infty, -2) \cup (-1, 1) \cup (3, +\infty) \right)

Presek ova dva skupa daje konačno rešenje:

x∈(−1,−13]∪(3,+∞)x \in \left(-1, -\frac{1}{3}\right] \cup (3, +\infty)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti