1852.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu: x2−5=x+1 \sqrt{x^2-5} = \sqrt{x+1}

REŠENJE ZADATKA

Prvo moramo odrediti domen jednačine. Potkorene veličine moraju biti nenegativne:

{x2−5≥0x+1≥0\begin{cases} x^2 - 5 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases}
x∈(−∞,−5)x \in (-\infty, -\sqrt{5})
x=−5x = -\sqrt{5}
x∈(−5,5)x \in (-\sqrt{5}, \sqrt{5})
x=5x = \sqrt{5}
x∈(5,+∞)x \in (\sqrt{5}, +\infty)
x2−5x^2-5
++
00
−-
00
++

Druga nejednačina je x+1≥0, x + 1 \ge 0 , što daje x≥−1. x \ge -1 . Presek svih uslova (domen) je:

x∈[5,+∞)x \in [\sqrt{5}, +\infty)

Sada kvadriramo obe strane jednačine:

(x2−5)2=(x+1)2x2−5=x+1(\sqrt{x^2-5})^2 = (\sqrt{x+1})^2 \\ x^2 - 5 = x + 1

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:

x2−x−6=0x^2 - x - 6 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine pomoću formule:

x1,2=−(−1)±(−1)2−4⋅1⋅(−6)2⋅1x1,2=1±1+242x1,2=1±52x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} \\ x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \\ x_{1,2} = \frac{1 \pm 5}{2}

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x1=1+52=3x2=1−52=−2x_1 = \frac{1+5}{2} = 3 \\ x_2 = \frac{1-5}{2} = -2

Proveravamo da li rešenja pripadaju domenu x∈[5,+∞). x \in [\sqrt{5}, +\infty) . Kako je 5≈2.236: \sqrt{5} \approx 2.236 :

x1=3∈[5,+∞)(prihvatamo)x2=−2∉[5,+∞)(odbacujemo)x_1 = 3 \in [\sqrt{5}, +\infty) \quad (\text{prihvatamo}) \\ x_2 = -2 \notin [\sqrt{5}, +\infty) \quad (\text{odbacujemo})

Jedino rešenje jednačine je:

x=3x = 3

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti