1852. Iracionalne jednačine i nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Prvo moramo odrediti domen jednačine. Potkorene veličine moraju biti nenegativne:

\begin{cases} x^2 - 5 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases}

x \in (-\infty, -\sqrt{5})

x = -\sqrt{5}

x \in (-\sqrt{5}, \sqrt{5})

x = \sqrt{5}

x \in (\sqrt{5}, +\infty)

x^2-5

+

0

-

0

+

Druga nejednačina je $x + 1 \ge 0 ,$ što daje $x \ge -1 .$ Presek svih uslova (domen) je:

x \in [\sqrt{5}, +\infty)

Sada kvadriramo obe strane jednačine:

(\sqrt{x^2-5})^2 = (\sqrt{x+1})^2 \\ x^2 - 5 = x + 1

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:

x^2 - x - 6 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine pomoću formule:

x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} \\ x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \\ x_{1,2} = \frac{1 \pm 5}{2}

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x_1 = \frac{1+5}{2} = 3 \\ x_2 = \frac{1-5}{2} = -2

Proveravamo da li rešenja pripadaju domenu $x \in [\sqrt{5}, +\infty) .$ Kako je $\sqrt{5} \approx 2.236 :$

x_1 = 3 \in [\sqrt{5}, +\infty) \quad (\text{prihvatamo}) \\ x_2 = -2 \notin [\sqrt{5}, +\infty) \quad (\text{odbacujemo})

Jedino rešenje jednačine je:

x = 3

360.g