Jednačine koje se svode na kvadratne

Uvod

U prethodnoj lekciji naučili smo kako da rešimo kvadratnu jednačinu. Međutim, mnoge jednačine višeg stepena ili posebne strukture mogu se, uz pravu smenu ili transformaciju, svesti tačno na kvadratni oblik koji već znamo da rešimo.

Ključna ideja je uvek ista: prepoznajemo određeni obrazac u jednačini, uvodimo smenu $t$ koja "sakrije" složeni izraz iza jedne promenljive, rešimo kvadratnu jednačinu po $t$ , i na kraju obavezno vraćamo smenu da bismo dobili rešenja originalne jednačine.

1. Metod smene

Zamislite da imate jednačinu $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ . Na prvi pogled ovo nije kvadratna jednačina, ali ako pažljivo pogledate, vidite da se $x^2$ pojavljuje na dva mesta. Šta ako bismo ceo izraz $x^2$ privremeno nazvali $t$ ? Tada $x^4 = (x^2)^2 = t^2$ , i cela jednačina postaje $t^2 - 13t + 36 = 0$ , a to je kvadratna jednačina koju znamo da rešimo!

To je suština metoda smene: uočavamo izraz koji, kada ga imenujemo novom promenljivom $t$ , pretvara jednačinu u kvadratni oblik. Rešimo je po $t$ , a potom za svako dobijeno $t_i$ vraćamo smenu i rešavamo jednačinu po $x$ .

1.1 Smena $t = x^2$

Kako prepoznati: Jednačina sadrži samo stepene $x^4$ , $x^2$ i slobodan član, bez neparnih stepena. Opšti oblik:

$ax^4 + bx^2 + c = 0$

Kako rešiti: Smena $t = x^2$ (uz uslov $t \geq 0$ ) daje $at^2 + bt + c = 0$ . Za svako $t_i \geq 0$ rešimo $x^2 = t_i \implies x = \pm\sqrt{t_i}$ . Ako je $t_i < 0$ , to rešenje odbacujemo jer nema realnih rešenja po $x$ .

Bikvadratna jednačina može imati 0, 2 ili 4 realna rešenja, zavisno od vrednosti dobijenih za $t$ .

Jednačina: $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

Smena $t = x^2$ :

$t^2 - 13t + 36 = 0$

$D = 169 - 144 = 25 \implies t_{1,2} = \frac{13 \pm 5}{2}$

$t_1 = 9, \qquad t_2 = 4$

Oba rešenja su pozitivna, vraćamo smenu:

$x^2 = 9 \implies x_1 = 3, \quad x_2 = -3$

$x^2 = 4 \implies x_3 = 2, \quad x_4 = -2$

$x \in \{-3, -2, 2, 3\}$

Ako je neko $t_i < 0$ , to rešenje se odbacuje. Pošto je $t = x^2$ , a kvadrat realnog broja nikad nije negativan, jednačina $x^2 = t_i < 0$ nema realnih rešenja.

Na primer, ako dobijemo $t_1 = 9$ i $t_2 = -4$ :

$x^2 = 9 \implies x_1 = 3, \quad x_2 = -3$

$x^2 = -4 \implies \text{nema realnih rešenja} \quad \text{(odbacujemo)}$

Vraćanje smene je obavezan korak. Vrednosti $t_1, t_2$ su rešenja po zamenjenom izrazu, a ne po $x$ . Jednačina nije rešena dok se ne nađe $x$ .

1.2 Smena $t = x^3$ (jednačine oblika $x^6$ )

Kako prepoznati: Jednačina sadrži $x^6$ , $x^3$ i slobodan član. Opšti oblik:

$ax^6 + bx^3 + c = 0$

Kako rešiti: Pošto je $x^6 = (x^3)^2$ , smena $t = x^3$ daje $at^2 + bt + c = 0$ . Za svako $t_i$ rešimo $x^3 = t_i \implies x = \sqrt[3]{t_i}$ .

Ključna razlika od bikvadratnih: ne postoji uslov $t \geq 0$ jer $x^3 = t$ ima realno rešenje za svako $t \in \mathbb{R}$ . Pritom, $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$ .

Jednačina: $x^6 - 9x^3 + 8 = 0$

Smena $t = x^3$ :

$t^2 - 9t + 8 = 0$

$t_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2} = \frac{9 \pm 7}{2}$

$t_1 = 8, \qquad t_2 = 1$

Vraćamo smenu:

$x^3 = 8 \implies x_1 = \sqrt[3]{8} = 2$

$x^3 = 1 \implies x_2 = \sqrt[3]{1} = 1$

$x \in \{1, 2\}$

1.3 Ponavljajući izraz u jednačini

U jednačini $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 12 = 0$ oba faktora sadrže $x^2 + x$ . Ako taj ceo izraz nazovemo $t$ , faktori postaju $(t + 1)$ i $(t + 2)$ , i jednačina se trenutno svodi na $(t+1)(t+2) - 12 = 0$ , što je kvadratna.

Kako prepoznati: Isti algebarski izraz se pojavljuje više puta u jednačini, ili se jasno uočava da bi smena tog izraza svela jednačinu na kvadratnu.

Kako rešiti: Imenujemo ponavljajući izraz sa $t$ , prepisujemo jednačinu po $t$ , rešimo, a zatim vraćamo smenu i rešavamo kvadratnu jednačinu po $x$ .

Jednačina: $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 12 = 0$

Uočavamo da se $x^2 + x$ ponavlja u oba faktora. Smena $t = x^2 + x$ :

$(t + 1)(t + 2) - 12 = 0$

$t^2 + 3t + 2 - 12 = 0 \implies t^2 + 3t - 10 = 0$

$t_1 = 2, \qquad t_2 = -5$

Vraćamo smenu:

Za $t_1 = 2$ : $\quad x^2 + x - 2 = 0 \implies x_1 = 1, \quad x_2 = -2$

Za $t_2 = -5$ : $\quad x^2 + x + 5 = 0$ , $D = 1 - 20 = -19 < 0$ (nema realnih rešenja)

$x \in \{1, -2\}$

Jednačina: $(x^2 - 16x)^2 - 2(x^2 - 16x) - 63 = 0$

Smena $t = x^2 - 16x$ :

$t^2 - 2t - 63 = 0 \implies t_1 = 9, \quad t_2 = -7$

Za $t_1 = 9$ : $\quad x^2 - 16x - 9 = 0 \implies x_{1,2} = 8 \pm \sqrt{73}$

Za $t_2 = -7$ : $\quad x^2 - 16x + 7 = 0 \implies x_{3,4} = 8 \pm \sqrt{57}$

$x \in \{8 - \sqrt{73},\; 8 + \sqrt{73},\; 8 - \sqrt{57},\; 8 + \sqrt{57}\}$

1.4 Grupisanje proizvoda četiri linearna činioca

Kako prepoznati: Jednačina je oblika $(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k$ , gde su $a, b, c, d$ konstantne i može se napraviti grupisanje u dva para tako da zbir slobodnih članova u oba para bude jednak:

$a + d = b + c$

Kako rešiti: Biramo parove čiji je zbir slobodnih članova jednak. Množimo faktore u parovima, uočavamo zajednički podizraz i uvodimo smenu.

Jednačina: $(x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680$

Slobodni članovi: $-4, -5, -6, -7$ . Tražimo parove jednakih zbira:

$(-4) + (-7) = -11, \qquad (-5) + (-6) = -11 \checkmark$

Grupišemo:

$[(x-4)(x-7)] \cdot [(x-5)(x-6)] = 1680$

$(x^2 - 11x + 28)(x^2 - 11x + 30) = 1680$

Smena $t = x^2 - 11x + 28$ :

$t(t + 2) = 1680 \implies t^2 + 2t - 1680 = 0$

$t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 6720}}{2} = \frac{-2 \pm 82}{2}$

$t_1 = 40, \qquad t_2 = -42$

Za $t_1 = 40$ : $\quad x^2 - 11x + 28 = 40 \implies x^2 - 11x - 12 = 0 \implies x_1 = 12, \quad x_2 = -1$

Za $t_2 = -42$ : $\quad x^2 - 11x + 70 = 0$ , $D = 121 - 280 < 0$ (nema realnih rešenja)

$x \in \{12, -1\}$

2. Simetrične jednačine

2.1 Kako prepoznati simetričnu jednačinu

Simetrična (recipročna) jednačina stepena $n$ je ona u kojoj su koeficijenti simetrični, tj. koeficijent uz $x^k$ jednak je koeficijentu uz $x^{n-k}$ :

$a_0 = a_n, \quad a_1 = a_{n-1}, \quad a_2 = a_{n-2}, \ldots$

Jednostavno: ako čitamo koeficijente s leva nadesno, dobijamo isti niz kao ako ih čitamo zdesna nalevo.

$6x^4 + 5x^3 - 38x^2 + 5x + 6 = 0$

Koeficijenti su: $6, 5, -38, 5, 6$ . Palindrom ✓

2.2 Simetrična jednačina parnog stepena

Opšti oblik: $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$

Kako rešiti:

Pošto $x = 0$ nije rešenje (zamenom dobijamo $a \neq 0$ ), delimo celu jednačinu sa $x^2$ :

$ax^2 + bx + c + \frac{b}{x} + \frac{a}{x^2} = 0$

Grupišemo:

$a\!\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + b\!\left(x + \frac{1}{x}\right) + c = 0$

Uvodimo smenu $t = x + \dfrac{1}{x}$ . Tada je:

$t^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \implies x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$

Jednačina postaje kvadratna po $t$ :

$a(t^2 - 2) + bt + c = 0$

Za svako dobijeno $t_i$ rešavamo $x + \dfrac{1}{x} = t_i$ , tj. $x^2 - t_i x + 1 = 0$ .

Jednačina: $6x^4 + 5x^3 - 38x^2 + 5x + 6 = 0$

Koeficijenti $6, 5, -38, 5, 6$ — simetrična jednačina. Delimo sa $x^2$ :

$6\!\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 5\!\left(x + \frac{1}{x}\right) - 38 = 0$

Smena $t = x + \dfrac{1}{x}$ , pa $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = t^2 - 2$ :

$6(t^2 - 2) + 5t - 38 = 0 \implies 6t^2 + 5t - 50 = 0$

$t_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 1200}}{12} = \frac{-5 \pm 35}{12}$

$t_1 = \frac{5}{2}, \qquad t_2 = -\frac{10}{3}$

Za $t_1 = \dfrac{5}{2}$ : $\quad x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{2} \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0 \implies x_1 = 2, \quad x_2 = \dfrac{1}{2}$

Za $t_2 = -\dfrac{10}{3}$ : $\quad x + \dfrac{1}{x} = -\dfrac{10}{3} \implies 3x^2 + 10x + 3 = 0 \implies x_3 = -3, \quad x_4 = -\dfrac{1}{3}$

$x \in \left\{-3, -\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 2\right\}$

Primetite da rešenja dolaze u parovima recipročnih vrednosti: $2$ i $\frac{1}{2}$ , $-3$ i $-\frac{1}{3}$ . Ovo je karakteristika simetričnih jednačina.

2.3 Simetrična jednačina neparnog stepena

Simetrična jednačina petog stepena izgleda ovako:

$ax^5 + bx^4 + cx^3 + cx^2 + bx + a = 0$

Primetite da su koeficijenti palindrom i da se srednji koeficijent ( $cx^3$ i $cx^2$ ) ponavlja. Analogno važi za svaki neparan stepen.

Ovakva jednačina uvek ima $x = -1$ kao rešenje. To se proverava zamenom: zbir koeficijenata naizmeničnog znaka mora biti nula.

Nakon što se utvrdi da je $x = -1$ rešenje, jednačina se deli sa $(x + 1)$ i dobija se simetrična jednačina nižeg (parnog) stepena koja se rešava metodom iz 2.2.

Jednačina: $x^5 - 2x^4 + x^3 + x^2 - 2x + 1 = 0$

Koeficijenti: $1, -2, 1, 1, -2, 1$ — simetrična, stepen 5 (neparan).

Proveravamo $x = -1$ : $-1 - 2 - 1 + 1 + 2 + 1 = 0$ ✓

Delimo sa $(x + 1)$ i dobijamo:

$(x + 1)(x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 3x + 1) = 0$

Preostali faktor je simetrična jednačina četvrtog stepena. Delimo sa $x^2$ i uvodimo $t = x + \dfrac{1}{x}$ :

$(t^2 - 2) - 3t + 4 = 0 \implies t^2 - 3t + 2 = 0$

$t_1 = 2, \qquad t_2 = 1$

Za $t_1 = 2$ : $\quad x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x_2 = 1$ (dvostruko)

Za $t_2 = 1$ : $\quad x^2 - x + 1 = 0 \implies x_{3,4} = \dfrac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ (kompleksna)

$x \in \left\{-1,\; 1,\; \frac{1 + i\sqrt{3}}{2},\; \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}\right\}$

3. Kososimetrične jednačine

3.1 Kako prepoznati kososimetričnu jednačinu

Kososimetrična (antimetrična) jednačina stepena $n$ je ona u kojoj su koeficijenti antisimetrični, tj. koeficijent uz $x^k$ jednak je negativnom koeficijentu uz $x^{n-k}$ :

$a_0 = -a_n, \quad a_1 = -a_{n-1}, \quad a_2 = -a_{n-2}, \ldots$

Jednostavno: ako koeficijente s desne strane promenimo znak, dobijamo iste koeficijente kao s leve strane. Slobodan član i vodeći koeficijent su uvek suprotnog znaka.

$7x^4 - 50x^3 + 50x - 7 = 0$ — koeficijenti su $7, -50, 0, 50, -7$ . Uzimamo desnu polovinu i menjamo znakove: $7, -50$ . To je ista leva polovina ✓

3.2 Kososimetrična jednačina parnog stepena

Opšti oblik: $ax^4 + bx^3 - bx - a = 0$

Kako rešiti:

Uvek ima $x = 1$ i $x = -1$ kao rešenja (proveravamo zamenom). Grupišemo:

$a(x^4 - 1) + bx(x^2 - 1) = 0$

$a(x^2 - 1)(x^2 + 1) + bx(x^2 - 1) = 0$

$(x^2 - 1)\left[a(x^2 + 1) + bx\right] = 0$

$(x - 1)(x + 1)(ax^2 + bx + a) = 0$

Iz ovoga direktno čitamo $x_1 = 1$ , $x_2 = -1$ , a preostala dva rešenja dobijamo iz kvadratne jednačine $ax^2 + bx + a = 0$ .

Jednačina: $7x^4 - 50x^3 + 50x - 7 = 0$

Prepoznajemo kososimetričnu: koeficijenti $7, -50, 0, 50, -7$ .

$7(x^4 - 1) - 50x(x^2 - 1) = 0$

$7(x^2 - 1)(x^2 + 1) - 50x(x^2 - 1) = 0$

$(x^2 - 1)(7x^2 - 50x + 7) = 0$

$(x - 1)(x + 1)(7x^2 - 50x + 7) = 0$

$x_1 = 1$ , $x_2 = -1$

Za $7x^2 - 50x + 7 = 0$ :

$D = 2500 - 196 = 2304 = 48^2$

$x_{3,4} = \frac{50 \pm 48}{14} \implies x_3 = 7, \quad x_4 = \frac{1}{7}$

$x \in \left\{-1, \frac{1}{7}, 1, 7\right\}$

3.3 Kososimetrična jednačina neparnog stepena

Kososimetrična jednačina neparnog stepena uvek ima $x = 1$ kao rešenje (proveravamo zamenom). Delimo sa $(x - 1)$ i dobijamo simetričnu jednačinu nižeg stepena koja se rešava metodom iz poglavlja 2.

Jednačina: $2x^5 + x^4 - 19x^3 + 19x^2 - x - 2 = 0$

Koeficijenti: $2, 1, -19, 19, -1, -2$ — kososimetrična, stepen 5 (neparan).

Zamena $x = 1$ : $2 + 1 - 19 + 19 - 1 - 2 = 0$ ✓

Delimo sa $(x - 1)$ :

$(x - 1)(2x^4 + 3x^3 - 16x^2 + 3x + 2) = 0$

Preostali faktor je simetrična jednačina četvrtog stepena. Delimo sa $x^2$ i uvodimo $t = x + \dfrac{1}{x}$ :

$2(t^2 - 2) + 3t - 16 = 0 \implies 2t^2 + 3t - 20 = 0$

$t_{1,2} = \frac{-3 \pm 13}{4} \implies t_1 = \frac{5}{2}, \quad t_2 = -4$

Za $t_1 = \dfrac{5}{2}$ : $\quad 2x^2 - 5x + 2 = 0 \implies x_2 = 2, \quad x_3 = \dfrac{1}{2}$

Za $t_2 = -4$ : $\quad x^2 + 4x + 1 = 0 \implies x_{4,5} = -2 \pm \sqrt{3}$

$x \in \left\{1, 2, \frac{1}{2}, -2 + \sqrt{3}, -2 - \sqrt{3}\right\}$

Pregled: kako odrediti tip jednačine

Šta vidim	Tip	Smena
$ax^4 + bx^2 + c = 0$	Bikvadratna	$t = x^2$
$ax^6 + bx^3 + c = 0$	Šestog stepena	$t = x^3$
Isti izraz se ponavlja više puta	Smena izraza	$t = [\text{ponavljajući izraz}]$
Koeficijenti su palindrom	Simetrična	$t = x + \frac{1}{x}$
Koeficijenti su anti-palindrom	Kososimetrična	faktorizacija + $t = x + \frac{1}{x}$

Jednačine koje se svode na kvadratne

Jednačine koje se svode na kvadratne

Uvod

Sadržaj

1. Metod smene

1.1 Smena $t = x^2$

1.2 Smena $t = x^3$ (jednačine oblika $x^6$ )

1.3 Ponavljajući izraz u jednačini

1.4 Grupisanje proizvoda četiri linearna činioca

2. Simetrične jednačine

2.1 Kako prepoznati simetričnu jednačinu

2.2 Simetrična jednačina parnog stepena

2.3 Simetrična jednačina neparnog stepena

3. Kososimetrične jednačine

3.1 Kako prepoznati kososimetričnu jednačinu

3.2 Kososimetrična jednačina parnog stepena

3.3 Kososimetrična jednačina neparnog stepena

Pregled: kako odrediti tip jednačine

Lekcije iz iste oblasti

Kvadratna jednačina

Sistemi kvadratnih jednačina

Zadaci za vežbanje iz oblasti: Jednačine koje se svode na kvadratne

Jednačine koje se svode na kvadratne

Jednačine koje se svode na kvadratne

Uvod

Sadržaj

1. Metod smene

1.1 Smena t=x2t = x^2t=x2

1.2 Smena t=x3t = x^3t=x3 (jednačine oblika x6x^6x6)

1.3 Ponavljajući izraz u jednačini

1.4 Grupisanje proizvoda četiri linearna činioca

2. Simetrične jednačine

2.1 Kako prepoznati simetričnu jednačinu

2.2 Simetrična jednačina parnog stepena

2.3 Simetrična jednačina neparnog stepena

3. Kososimetrične jednačine

3.1 Kako prepoznati kososimetričnu jednačinu

3.2 Kososimetrična jednačina parnog stepena

3.3 Kososimetrična jednačina neparnog stepena

Pregled: kako odrediti tip jednačine

Lekcije iz iste oblasti

Kvadratna jednačina

Sistemi kvadratnih jednačina

Zadaci za vežbanje iz oblasti: Jednačine koje se svode na kvadratne

1.1 Smena $t = x^2$

1.2 Smena $t = x^3$ (jednačine oblika $x^6$ )