Sistem: $\begin{cases} x + 2y = 7 \\ xy = 6 \end{cases}$

Iz prve jednačine: $x = 7 - 2y$

Zamenjujemo u drugu:

$(7 - 2y)y = 6 \implies 7y - 2y^2 = 6 \implies 2y^2 - 7y + 6 = 0$

$D = 49 - 48 = 1 \implies y_{1,2} = \frac{7 \pm 1}{4}$

$y_1 = 2 \implies x_1 = 7 - 4 = 3$

$y_2 = \frac{3}{2} \implies x_2 = 7 - 3 = 4$

$(x, y) \in \left\{(3,\, 2),\; \left(4,\, \frac{3}{2}\right)\right\}$

Sistem: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 2a^2 \\ xy = -a^2 \end{cases}$

Množimo drugu jednačinu sa 2 i sabiramo sa prvom:

$x^2 + 2xy + y^2 = 2a^2 - 2a^2 = 0 \implies (x + y)^2 = 0 \implies y = -x$

Zamenjujemo $y = -x$ u drugu jednačinu: $x(-x) = -a^2 \implies x^2 = a^2 \implies x = \pm a$

$(x, y) \in \{(a, -a),\; (-a, a)\}$

Sistem: $\begin{cases} (x-y)^2 + 4(x-y) = 21 \\ xy = 28 \end{cases}$

U prvoj jednačini se izraz $x - y$ pojavljuje dva puta. Smena $t = x - y$:

$t^2 + 4t - 21 = 0 \implies t_1 = 3, \quad t_2 = -7$

Slučaj 1 ($x - y = 3$): izrazimo $x = y + 3$ i zamenimo u $xy = 28$:

$y^2 + 3y - 28 = 0 \implies y_1 = 4,\; y_2 = -7$

Rešenja: $(7, 4)$ i $(-4, -7)$

Slučaj 2 ($x - y = -7$): izrazimo $x = y - 7$ i zamenimo u $xy = 28$:

$y^2 - 7y - 28 = 0 \implies y_{3,4} = \frac{7 \pm \sqrt{161}}{2}$

Rešenja: $\left(\dfrac{-7+\sqrt{161}}{2},\; \dfrac{7+\sqrt{161}}{2}\right)$ i $\left(\dfrac{-7-\sqrt{161}}{2},\; \dfrac{7-\sqrt{161}}{2}\right)$

Sistem: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x + y = 5 \end{cases}$

Uvodimo $u = x + y$ i $v = xy$. Iz druge jednačine odmah znamo $u = 5$.

Koristimo $x^2 + y^2 = u^2 - 2v$ u prvoj jednačini:

$25 - 2v = 13 \implies v = 6$

Znamo zbir ($u = 5$) i proizvod ($v = 6$). Rešavamo sistem:

$\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$

Iz prve: $y = 5 - x$. Zamenjujemo u drugu:

$x(5 - x) = 6 \implies x^2 - 5x + 6 = 0 \implies x_1 = 2,\quad x_2 = 3$

$x_1 = 2 \implies y_1 = 3, \qquad x_2 = 3 \implies y_2 = 2$

$(x, y) \in \{(2, 3),\; (3, 2)\}$

Sistem: $\begin{cases} x^2 + y^2 + xy = 13 \\ x + y + xy = 7 \end{cases}$

Smena $u = x + y$, $v = xy$. Koristimo $x^2 + y^2 = u^2 - 2v$:

$\begin{cases} u^2 - 2v + v = 13 \\ u + v = 7 \end{cases} \implies \begin{cases} u^2 - v = 13 \\ v = 7 - u \end{cases}$

Zamenjujemo $v = 7 - u$ u prvu:

$u^2 - (7 - u) = 13 \implies u^2 + u - 20 = 0$

$u_{1,2} = \frac{-1 \pm 9}{2} \implies u_1 = 4, \quad u_2 = -5$

Za $u_1 = 4$: $v_1 = 3$. Rešavamo sistem $\{x + y = 4,\; xy = 3\}$:

$y = 4 - x \implies x(4-x) = 3 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies x_1 = 1,\; x_2 = 3$

Rešenja: $(1, 3)$ i $(3, 1)$.

Za $u_2 = -5$: $v_2 = 12$. Rešavamo sistem $\{x + y = -5,\; xy = 12\}$:

$y = -5 - x \implies x(-5-x) = 12 \implies x^2 + 5x + 12 = 0$

$D = 25 - 48 = -23 < 0 \implies \text{nema realnih rešenja}$

$(x, y) \in \{(1, 3),\; (3, 1)\}$

Sistem: $\begin{cases} x^3 + y^3 = 2 \\ xy(x + y) = 2 \end{cases}$

Smena $u = x + y$, $v = xy$. Koristimo $x^3 + y^3 = u^3 - 3vu$ i $xy(x+y) = vu$:

$\begin{cases} u^3 - 3vu = 2 \\ vu = 2 \end{cases}$

Iz druge: $vu = 2$. Zamenjujemo u prvu:

$u^3 - 3 \cdot 2 = 2 \implies u^3 = 8 \implies u = 2$

$v = \frac{2}{u} = \frac{2}{2} = 1$

Znamo zbir ($u = 2$) i proizvod ($v = 1$). Rešavamo sistem $\{x + y = 2,\; xy = 1\}$:

$y = 2 - x \implies x(2 - x) = 1 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x = 1$

$x = 1 \implies y = 2 - 1 = 1$

$(x, y) = (1, 1)$

Sistem: $\begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 0 \\ x^2 - 3x - y + 3 = 0 \end{cases}$

Prva jednačina je homogena. Rešavamo je kao kvadratnu po $x$:

$x = \frac{3y \pm \sqrt{9y^2 - 8y^2}}{2} = \frac{3y \pm y}{2}$

$x_1 = 2y \qquad \text{ili} \qquad x_2 = y$

Zamenjujemo svaku relaciju u drugu jednačinu sistema.

Slučaj 1 ($x = 2y$):

$4y^2 - 7y + 3 = 0 \implies y_1 = 1,\; y_2 = \frac{3}{4}$

Rešenja: $(2, 1)$ i $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{4}\right)$

Slučaj 2 ($x = y$):

$y^2 - 4y + 3 = 0 \implies y_3 = 3,\; y_4 = 1$

Rešenja: $(3, 3)$ i $(1, 1)$

$(x, y) \in \left\{(2, 1),\; \left(\tfrac{3}{2}, \tfrac{3}{4}\right),\; (3, 3),\; (1, 1)\right\}$

Sistem: $\begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 0 \\ x^2 - 3x - y + 3 = 0 \end{cases}$

Prva jednačina je homogena. Delimo je sa $y^2$ (pretpostavljamo $y \neq 0$):

$\frac{x^2}{y^2} - 3\cdot\frac{x}{y} + 2 = 0$

Smena $k = \dfrac{x}{y}$:

$k^2 - 3k + 2 = 0 \implies (k-1)(k-2) = 0 \implies k_1 = 2,\; k_2 = 1$

Odakle: $\dfrac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$ ili $\dfrac{x}{y} = 1 \implies x = y$.

Zamenjujemo u drugu jednačinu sistema i dobijamo ista rešenja kao prvim načinom:

$(x, y) \in \left\{(2, 1),\; \left(\tfrac{3}{2}, \tfrac{3}{4}\right),\; (3, 3),\; (1, 1)\right\}$

Sistem: $\begin{cases} \dfrac{1}{x-2} + \dfrac{4}{y+3} = 1 \\[6pt] 3x - 2y - 2 = 0 \end{cases}$

Uslovi definisanosti: $x \neq 2$ i $y \neq -3$.

Iz linearne jednačine: $y = \dfrac{3x-2}{2}$. Zamenjujemo u prvu:

$\frac{1}{x-2} + \frac{8}{3x+4} = 1$

Množimo sa $(x-2)(3x+4)$:

$3x + 4 + 8(x-2) = (x-2)(3x+4) \implies 3x^2 - 13x + 4 = 0$

$x_1 = 4, \quad x_2 = \frac{1}{3}$

Oba zadovoljavaju $x \neq 2$.

Računamo $y$:

$y_1 = 5, \quad y_2 = -\frac{1}{2}$

$(x, y) \in \left\{(4, 5),\; \left(\tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{2}\right)\right\}$

Oba zadovoljavaju $y \neq -3$.