1757. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Uvodimo smene $u = x + y$ i $v = xy .$ Primetimo da je $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = u^2 - 2v .$ Zamenom ovih izraza u sistem dobijamo:

\begin{cases} 2(u^2 - 2v) - 5u = 1 \\ 5v - 2u = 20 \end{cases}

Iz druge jednačine izražavamo $v$ preko $u :$

5v = 2u + 20 \implies v = \frac{2u + 20}{5}

Zamenjujemo izraz za $v$ u prvu jednačinu:

2\left(u^2 - 2\left(\frac{2u + 20}{5}\right)\right) - 5u = 1

Množimo celu jednačinu sa 5 kako bismo se oslobodili razlomka:

10\left(u^2 - \frac{4u + 40}{5}\right) - 25u = 5 \implies 10u^2 - 2(4u + 40) - 25u = 5

Sređujemo kvadratnu jednačinu po $u :$

10u^2 - 8u - 80 - 25u - 5 = 0 \implies 10u^2 - 33u - 85 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu koristeći formulu:

u_{1,2} = \frac{33 \pm \sqrt{(-33)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-85)}}{20} = \frac{33 \pm \sqrt{1089 + 3400}}{20} = \frac{33 \pm 67}{20}

Dobijamo dve vrednosti za $u :$

u_1 = \frac{100}{20} = 5, \quad u_2 = \frac{-34}{20} = -\frac{17}{10}

Računamo odgovarajuće vrednosti za $v :$

v_1 = \frac{2(5) + 20}{5} = 6, \quad v_2 = \frac{2(-\frac{17}{10}) + 20}{5} = \frac{-\frac{17}{5} + \frac{100}{5}}{5} = \frac{83}{25}

Sada rešavamo sisteme po $x$ i $y .$ Prvi slučaj: $u = 5, v = 6 .$ Formiramo kvadratnu jednačinu $t^2 - ut + v = 0 :$

t^2 - 5t + 6 = 0 \implies (t-2)(t-3) = 0

Rešenja prvog slučaja su:

(x_1, y_1) = (2, 3), \quad (x_2, y_2) = (3, 2)

Drugi slučaj: $u = -1.7, v = 3.32 .$ Formiramo kvadratnu jednačinu:

t^2 + 1.7t + 3.32 = 0

Proveravamo diskriminantu za drugi slučaj:

D = (1.7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3.32 = 2.89 - 13.28 = -10.39

Pošto je $D < 0 ,$ u drugom slučaju nema realnih rešenja. Konačna rešenja sistema su:

(x, y) \in \{(2, 3), (3, 2)\}

1757.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate