1763. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Uvodimo smenu $t = x - y$ u prvu jednačinu sistema kako bismo je sveli na kvadratnu jednačinu po $t .$

t^2 + 4t - 21 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t$ koristeći formulu za korene kvadratne jednačine.

t_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2} = \frac{-4 \pm 10}{2}

Dobijamo dve moguće vrednosti za razliku $x - y :$

t_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad t_2 = \frac{-14}{2} = -7

Sada rešavamo dva odvojena sistema jednačina. Prvi slučaj je kada je $x - y = 3 .$

\begin{cases} x - y = 3 \\ xy = 28 \end{cases}

Iz prve jednačine izrazimo $x$ i zamenimo u drugu jednačinu.

x = y + 3 \implies (y + 3)y = 28 \implies y^2 + 3y - 28 = 0

Računamo rešenja za $y$ u prvom slučaju:

y_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (-28)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 \pm 11}{2}

Za $y_1 = 4 ,$ dobijamo $x_1 = 4 + 3 = 7 .$ Za $y_2 = -7 ,$ dobijamo $x_2 = -7 + 3 = -4 .$

(x_1, y_1) = (7, 4), \quad (x_2, y_2) = (-4, -7)

Drugi slučaj je kada je $x - y = -7 .$

\begin{cases} x - y = -7 \\ xy = 28 \end{cases}

Izrazimo $x$ i zamenimo u drugu jednačinu.

x = y - 7 \implies (y - 7)y = 28 \implies y^2 - 7y - 28 = 0

Računamo rešenja za $y$ u drugom slučaju:

y_{3,4} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot (-28)}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 112}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{161}}{2}

Određujemo odgovarajuće vrednosti za $x$ koristeći $x = y - 7 .$

x_3 = \frac{7 + \sqrt{161}}{2} - 7 = \frac{-7 + \sqrt{161}}{2}, \quad x_4 = \frac{7 - \sqrt{161}}{2} - 7 = \frac{-7 - \sqrt{161}}{2}

Konačan skup rešenja sistema čine četiri uređena para.

\{(7, 4), (-4, -7), (\frac{-7 + \sqrt{161}}{2}, \frac{7 + \sqrt{161}}{2}), (\frac{-7 - \sqrt{161}}{2}, \frac{7 - \sqrt{161}}{2})\}

1763.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate