1764.

Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

TEKST ZADATKA

Rešiti sledeći sistem kvadratnih jednačina:

{x2+y2+x+y=3212(x+y)=7xy\begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 32 \\ 12(x + y) = 7xy \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da su jednačine simetrične po x x i y. y . Uvodimo smene u=x+y u = x + y i v=xy. v = xy . Prvu jednačinu transformišemo koristeći identitet x2+y2=(x+y)2−2xy. x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy .

x2+y2+x+y=(x+y)2−2xy+(x+y)=32x^2 + y^2 + x + y = (x + y)^2 - 2xy + (x + y) = 32

Zamenom smena u u i v v dobijamo novi sistem jednačina:

{u2−2v+u=3212u=7v\begin{cases} u^2 - 2v + u = 32 \\ 12u = 7v \end{cases}

Iz druge jednačine izražavamo v v preko u: u :

v=12u7v = \frac{12u}{7}

Zamenjujemo v v u prvu jednačinu:

u2−2(12u7)+u=32u^2 - 2\left(\frac{12u}{7}\right) + u = 32

Množimo celu jednačinu sa 7 kako bismo se oslobodili razlomka i sređujemo je:

7u2−24u+7u=224  ⟹  7u2−17u−224=07u^2 - 24u + 7u = 224 \implies 7u^2 - 17u - 224 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po u: u :

u1,2=17±172−4⋅7⋅(−224)2⋅7=17±289+627214=17±8114u_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{17^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-224)}}{2 \cdot 7} = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 6272}}{14} = \frac{17 \pm 81}{14}

Dobijamo dve vrednosti za u: u :

u1=9814=7,u2=−6414=−327u_1 = \frac{98}{14} = 7, \quad u_2 = \frac{-64}{14} = -\frac{32}{7}

Računamo odgovarajuće vrednosti za v: v :

v1=12⋅77=12,v2=12⋅(−327)7=−38449v_1 = \frac{12 \cdot 7}{7} = 12, \quad v_2 = \frac{12 \cdot (-\frac{32}{7})}{7} = -\frac{384}{49}

Sada rešavamo sisteme po x x i y y koristeći Vietova pravila. Prvi slučaj: u=7,v=12. u = 7, v = 12 . Brojevi x x i y y su rešenja kvadratne jednačine t2−ut+v=0: t^2 - ut + v = 0 :

t2−7t+12=0  ⟹  (t−3)(t−4)=0t^2 - 7t + 12 = 0 \implies (t-3)(t-4) = 0

Rešenja prvog slučaja su:

(x1,y1)=(3,4),(x2,y2)=(4,3)(x_1, y_1) = (3, 4), \quad (x_2, y_2) = (4, 3)

Drugi slučaj: u=−327,v=−38449. u = -\frac{32}{7}, v = -\frac{384}{49} . Rešavamo jednačinu:

t2+327t−38449=0  ⟹  49t2+224t−384=0t^2 + \frac{32}{7}t - \frac{384}{49} = 0 \implies 49t^2 + 224t - 384 = 0

Računamo diskriminantu i rešenja za t: t :

D=2242−4⋅49⋅(−384)=50176+75264=125440D = 224^2 - 4 \cdot 49 \cdot (-384) = 50176 + 75264 = 125440

Pošto je 125440=11210, \sqrt{125440} = 112\sqrt{10} , rešenja su:

t=−224±1121098=−16±8107t = \frac{-224 \pm 112\sqrt{10}}{98} = \frac{-16 \pm 8\sqrt{10}}{7}

Konačan skup rešenja sistema je:

{(3,4),(4,3),(−16+8107,−16−8107),(−16−8107,−16+8107)}\{(3, 4), (4, 3), (\frac{-16+8\sqrt{10}}{7}, \frac{-16-8\sqrt{10}}{7}), (\frac{-16-8\sqrt{10}}{7}, \frac{-16+8\sqrt{10}}{7})\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti