Simetričan sistem: 12(x + y) = 7xy

Primetimo da su jednačine simetrične po $x$ i $y .$ Uvodimo smene $u = x + y$ i $v = xy .$ Prvu jednačinu transformišemo koristeći identitet $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy .$

x^2 + y^2 + x + y = (x + y)^2 - 2xy + (x + y) = 32

Zamenom smena $u$ i $v$ dobijamo novi sistem jednačina:

\begin{cases} u^2 - 2v + u = 32 \\ 12u = 7v \end{cases}

Iz druge jednačine izražavamo $v$ preko $u :$

v = \frac{12u}{7}

Zamenjujemo $v$ u prvu jednačinu:

u^2 - 2\left(\frac{12u}{7}\right) + u = 32

Množimo celu jednačinu sa 7 kako bismo se oslobodili razlomka i sređujemo je:

7u^2 - 24u + 7u = 224 \implies 7u^2 - 17u - 224 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $u :$

u_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{17^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-224)}}{2 \cdot 7} = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 6272}}{14} = \frac{17 \pm 81}{14}

Dobijamo dve vrednosti za $u :$

u_1 = \frac{98}{14} = 7, \quad u_2 = \frac{-64}{14} = -\frac{32}{7}

Računamo odgovarajuće vrednosti za $v :$

v_1 = \frac{12 \cdot 7}{7} = 12, \quad v_2 = \frac{12 \cdot (-\frac{32}{7})}{7} = -\frac{384}{49}

Sada rešavamo sisteme po $x$ i $y$ koristeći Vietova pravila. Prvi slučaj: $u = 7, v = 12 .$ Brojevi $x$ i $y$ su rešenja kvadratne jednačine $t^2 - ut + v = 0 :$

t^2 - 7t + 12 = 0 \implies (t-3)(t-4) = 0

Rešenja prvog slučaja su:

(x_1, y_1) = (3, 4), \quad (x_2, y_2) = (4, 3)

Drugi slučaj: $u = -\frac{32}{7}, v = -\frac{384}{49} .$ Rešavamo jednačinu:

t^2 + \frac{32}{7}t - \frac{384}{49} = 0 \implies 49t^2 + 224t - 384 = 0

Računamo diskriminantu i rešenja za $t :$

D = 224^2 - 4 \cdot 49 \cdot (-384) = 50176 + 75264 = 125440

Pošto je $\sqrt{125440} = 112\sqrt{10} ,$ rešenja su:

t = \frac{-224 \pm 112\sqrt{10}}{98} = \frac{-16 \pm 8\sqrt{10}}{7}

Konačan skup rešenja sistema je:

\{(3, 4), (4, 3), (\frac{-16+8\sqrt{10}}{7}, \frac{-16-8\sqrt{10}}{7}), (\frac{-16-8\sqrt{10}}{7}, \frac{-16+8\sqrt{10}}{7})\}

Započni učenje

Privatni časovi

326.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci