1767.

326.b

TEKST ZADATKA

Rešiti sledeći sistem kvadratnih jednačina:

{x2+y2+xy=13x+y+xy=7\begin{cases} x^2 + y^2 + xy = 13 \\ x + y + xy = 7 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Uvodimo smene u=x+y u = x + y i v=xy. v = xy . Primetimo da se izraz x2+y2 x^2 + y^2 može zapisati preko ovih smena kao (x+y)2−2xy, (x + y)^2 - 2xy , odnosno u2−2v. u^2 - 2v .

x2+y2=(x+y)2−2xy=u2−2vx^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = u^2 - 2v

Zamenjujemo smene u originalni sistem jednačina:

{(u2−2v)+v=13u+v=7\begin{cases} (u^2 - 2v) + v = 13 \\ u + v = 7 \end{cases}

Sređujemo prvu jednačinu i izražavamo v v iz druge jednačine:

{u2−v=13v=7−u\begin{cases} u^2 - v = 13 \\ v = 7 - u \end{cases}

Zamenjujemo v=7−u v = 7 - u u prvu jednačinu:

u2−(7−u)=13u2+u−7−13=0u2+u−20=0u^2 - (7 - u) = 13 \\ u^2 + u - 7 - 13 = 0 \\ u^2 + u - 20 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po u: u :

u1,2=−1±12−4⋅1⋅(−20)2⋅1=−1±812=−1±92u_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 \pm 9}{2}

Dobijamo dve vrednosti za u, u , a zatim računamo odgovarajuće vrednosti za v: v :

1) u1=4  ⟹  v1=7−4=32) u2=−5  ⟹  v2=7−(−5)=121) \ u_1 = 4 \implies v_1 = 7 - 4 = 3 \\ 2) \ u_2 = -5 \implies v_2 = 7 - (-5) = 12

Sada rešavamo sisteme po x x i y y koristeći Vijetova pravila. Za prvi slučaj u=4,v=3, u = 4, v = 3 , x x i y y su koreni jednačine t2−ut+v=0: t^2 - ut + v = 0 :

t2−4t+3=0(t−1)(t−3)=0t1=1, t2=3t^2 - 4t + 3 = 0 \\ (t - 1)(t - 3) = 0 \\ t_1 = 1, \ t_2 = 3

Iz prvog slučaja dobijamo rešenja:

(x1,y1)=(1,3),(x2,y2)=(3,1)(x_1, y_1) = (1, 3), \quad (x_2, y_2) = (3, 1)

Za drugi slučaj u=−5,v=12, u = -5, v = 12 , formiramo kvadratnu jednačinu:

t2+5t+12=0t^2 + 5t + 12 = 0

Proveravamo diskriminantu ove jednačine:

D=52−4⋅1⋅12=25−48=−23D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 25 - 48 = -23

Pošto je D<0, D < 0 , u ovom slučaju nema realnih rešenja. Konačna realna rešenja sistema su:

(x,y)∈{(1,3),(3,1)}(x, y) \in \{(1, 3), (3, 1)\}