Simetrični sistem: zbir kubova 2 i xy(x + y) = 2

Uvodimo smene za simetrične polinome: $S = x + y$ i $P = xy .$

\begin{cases} S = x + y \\ P = xy \end{cases}

Izrazimo zbir kubova $x^3 + y^3$ preko $S$ i $P .$

x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = (x + y)((x + y)^2 - 3xy) = S(S^2 - 3P) = S^3 - 3SP

Zamenimo ove izraze u polazni sistem jednačina.

\begin{cases} S^3 - 3SP = 2 \\ SP = 2 \end{cases}

Zamenimo vrednost $SP = 2$ iz druge jednačine u prvu.

S^3 - 3 \cdot 2 = 2

Rešavamo dobijenu jednačinu po $S .$

S^3 - 6 = 2 \implies S^3 = 8 \implies S = 2

Sada računamo vrednost za $P$ zamenom $S = 2$ u jednačinu $SP = 2 .$

2P = 2 \implies P = 1

Vraćamo se na početne smene. Brojevi $x$ i $y$ predstavljaju rešenja kvadratne jednačine $t^2 - St + P = 0$ na osnovu Vijetovih formula.

t^2 - 2t + 1 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t .$

(t - 1)^2 = 0 \implies t_1 = t_2 = 1

Pošto su rešenja kvadratne jednačine jednaka, zaključujemo da je $x = 1$ i $y = 1 .$ Zapisujemo konačno rešenje sistema.

(x, y) = (1, 1)

340