1770. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Uvodimo smene $u = x + y$ i $v = xy .$ Primetimo da se izraz $x^2 + y^2$ može zapisati kao $(x + y)^2 - 2xy ,$ što je u našim oznakama $u^2 - 2v .$

x^2 + xy + y^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - xy = (x + y)^2 - xy

Zamenjujemo smene u polazni sistem jednačina:

\begin{cases} u^2 - v = 4 \\ u + v = 2 \end{cases}

Iz druge jednačine izražavamo $v$ i zamenjujemo u prvu jednačinu:

v = 2 - u \\ u^2 - (2 - u) = 4

Sređujemo dobijenu kvadratnu jednačinu po $u :$

u^2 + u - 6 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine po $u :$

u_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 5}{2} \\ u_1 = 2, \quad u_2 = -3

Računamo odgovarajuće vrednosti za $v :$

v_1 = 2 - u_1 = 2 - 2 = 0 \\ v_2 = 2 - u_2 = 2 - (-3) = 5

Sada rešavamo sisteme po $x$ i $y$ za oba para $(u, v) .$ Prvi slučaj: $u = 2, v = 0 :$

\begin{cases} x + y = 2 \\ xy = 0 \end{cases}

Iz $xy = 0$ sledi $x = 0$ ili $y = 0 .$ Ako je $x = 0 ,$ onda je $y = 2 .$ Ako je $y = 0 ,$ onda je $x = 2 .$ Dobijamo rešenja:

(x_1, y_1) = (0, 2), \quad (x_2, y_2) = (2, 0)

Drugi slučaj: $u = -3, v = 5 :$

\begin{cases} x + y = -3 \\ xy = 5 \end{cases}

Sastavljamo kvadratnu jednačinu $t^2 - ut + v = 0$ čija su rešenja $x$ i $y :$

t^2 + 3t + 5 = 0

Proveravamo diskriminantu ove jednačine:

D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11

Pošto je diskriminanta negativna, u ovom slučaju nema realnih rešenja. Skup realnih rešenja sistema je:

(x, y) \in \{(0, 2), (2, 0)\}

1770.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate