1772. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Uočavamo da prvu jednačinu možemo transformisati izvlačenjem zajedničkog faktora $xy$ ispred zagrade.

xy(x + y) = 30

Uvodimo smene $u = x + y$ i $v = xy$ kako bismo uprostili sistem.

\begin{cases} v \cdot u = 30 \\ v + u = 11 \end{cases}

Sada imamo sistem dve jednačine sa dve nepoznate $u$ i $v .$ Iz druge jednačine izražavamo $v .$

v = 11 - u

Zamenjujemo izraz za $v$ u prvu jednačinu.

u(11 - u) = 30 \implies 11u - u^2 = 30 \implies u^2 - 11u + 30 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $u .$

u_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2} = \frac{11 \pm 1}{2}

Dobijamo dve vrednosti za $u ,$ a zatim računamo odgovarajuće vrednosti za $v .$

\begin{aligned} &u_1 = 6 \implies v_1 = 11 - 6 = 5 \\ &u_2 = 5 \implies v_2 = 11 - 5 = 6 \end{aligned}

Vraćamo smene. Prvi slučaj: $x + y = 6$ i $xy = 5 .$ Prema Vijetovim pravilima, $x$ i $y$ su koreni jednačine $t^2 - 6t + 5 = 0 .$

t_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2} \implies t_1 = 5, t_2 = 1

Iz prvog slučaja dobijamo rešenja:

(x_1, y_1) = (5, 1), \quad (x_2, y_2) = (1, 5)

Drugi slučaj: $x + y = 5$ i $xy = 6 .$ Ovde su $x$ i $y$ koreni jednačine $t^2 - 5t + 6 = 0 .$

t_{3,4} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \implies t_3 = 3, t_4 = 2

Iz drugog slučaja dobijamo rešenja:

(x_3, y_3) = (3, 2), \quad (x_4, y_4) = (2, 3)

Konačan skup rešenja sistema je:

\{(5, 1), (1, 5), (3, 2), (2, 3)\}

1772.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate