1771.

Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem kvadratnih jednačina:

{5x2−6y2=1117x2+3y2=714\begin{cases} 5x^2 - 6y^2 = 111 \\ 7x^2 + 3y^2 = 714 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da su obe jednačine linearne po promenljivama x2 x^2 i y2. y^2 . Koristićemo metodu suprotnih koeficijenata. Pomnožimo drugu jednačinu sa 2 kako bismo eliminisali y2. y^2 .

{5x2−6y2=11114x2+6y2=1428\begin{cases} 5x^2 - 6y^2 = 111 \\ 14x^2 + 6y^2 = 1428 \end{cases}

Saberemo ove dve jednačine:

(5x2−6y2)+(14x2+6y2)=111+1428(5x^2 - 6y^2) + (14x^2 + 6y^2) = 111 + 1428

Sredimo dobijeni izraz:

19x2=153919x^2 = 1539

Delimo sa 19 da bismo našli x2: x^2 :

x2=153919=81x^2 = \frac{1539}{19} = 81

Odavde dobijamo dve moguće vrednosti za x: x :

x=±81  ⟹  x1=9,x2=−9x = \pm \sqrt{81} \implies x_1 = 9, \quad x_2 = -9

Sada uvrstimo x2=81 x^2 = 81 u bilo koju od početnih jednačina, na primer u drugu, da bismo našli y2: y^2 :

7(81)+3y2=7147(81) + 3y^2 = 714

Računamo vrednost y2: y^2 :

567+3y2=7143y2=714−5673y2=147y2=49567 + 3y^2 = 714 \\ 3y^2 = 714 - 567 \\ 3y^2 = 147 \\ y^2 = 49

Odavde dobijamo dve moguće vrednosti za y: y :

y=±49  ⟹  y1=7,y2=−7y = \pm \sqrt{49} \implies y_1 = 7, \quad y_2 = -7

Kombinovanjem svih vrednosti x x i y, y , dobijamo četiri rešenja sistema:

(x,y)∈{(9,7),(9,−7),(−9,7),(−9,−7)}(x, y) \in \{(9, 7), (9, -7), (-9, 7), (-9, -7)\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti